[论文解读] Euclidean Capacitated Vehicle Routing in Random Setting: A $1.55$-Approximation Algorithm

Zipei Nie, Hang Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2023

Vehicle Routing Optimization Methods被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新型多项式时间算法，用于随机设置下的欧几里得容量车辆路径问题（CVRP），结合了扫掠启发式方法与Arora的TSP近似框架。该算法在渐近几乎必然的意义下实现了1.55的近似比，显著优于先前1.995和1.915的界限，并推测在相同条件下可实现任意ε>0的(1+ε)-近似。

ABSTRACT

We study the unit-demand capacitated vehicle routing problem in the random setting of the Euclidean plane. The objective is to visit $n$ random terminals in a square using a set of tours of minimum total length, such that each tour visits the depot and at most $k$ terminals. We design an elegant algorithm combining the classical sweep heuristic and Arora's framework for the Euclidean traveling salesman problem [Journal of the ACM 1998]. We show that our algorithm is a polynomial-time approximation of ratio at most $1.55$ asymptotically almost surely. This improves on previous approximation ratios of $1.995$ due to Bompadre, Dror, and Orlin [Journal of Applied Probability 2007] and $1.915$ due to Mathieu and Zhou [Random Structures and Algorithms 2022]. In addition, we conjecture that, for any $\varepsilon>0$, our algorithm is a $(1+\varepsilon)$-approximation asymptotically almost surely.

研究动机与目标

• 设计一种新的近似算法，用于在随机输入分布下求解欧几里得平面上的单位需求容量车辆路径问题（CVRP）。
• 改进随机设置下欧几里得CVRP的最佳已知近似比1.915。
• 探索该算法是否能在渐近几乎必然的意义下对任意ε>0实现(1+ε)-近似。
• 引入并分析新概念——R-径向成本与R-局部成本，扩展经典成本框架以实现更优分析。

提出的方法

• 算法按终端相对于枢纽的极角对终端进行排序，并将它们划分为大小为Mk的有序子序列。
• 每个子序列使用Arora的(1+1/M)-近似框架求解欧几里得TSP，确保每个组内路径近似最优。
• 整体解通过组合这些子解获得，利用了随机终端分布的几何结构。
• 分析中引入了R-径向成本与R-局部成本，作为经典成本度量的推广，用于界定总路径长度。
• 推导出在单位正方形和单位圆区域上几何期望（如g1(O)、g2(O)、g3(O)）的闭式积分，以建模期望距离。
• 通过概率分析与几何积分建立理论界，表明在独立同分布的均匀终端分布下，总成本至多为最优值的1.55倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种新算法，在随机设置下对欧几里得CVRP实现优于1.915的近似比？
• RQ2 将扫掠启发式方法与Arora的TSP框架结合，是否能在期望意义下实现更优的可证明近似？
• RQ3 对于任意固定的M≥105，该算法的性能是否能在渐近几乎必然的意义下被界定为1.55？
• RQ4 如论文所猜想，该算法是否可能在随机设置下对任意ε>0实现(1+ε)-近似？
• RQ5 新成本概念——R-径向成本与R-局部成本——如何实现对随机几何设置下路径成本的更紧密分析？

主要发现

• 所提出的算法在M≥105时，对随机设置下的欧几里得CVRP实现了1.55-近似比，渐近几乎必然成立。
• 该结果优于Mathieu和Zhou（2022）的1.915和Bompadre、Dror与Orlin（2007）的1.995的先前最佳已知比值。
• 该算法为多项式时间算法，结合了扫掠启发式方法与Arora的TSP近似框架，与迭代巡回分割（ITP）方法有本质不同。
• 作者引入了R-径向成本与R-局部成本作为经典成本度量的推广，使对期望路径长度的分析更加紧密。
• 推导出在单位正方形与单位圆区域上关键几何积分（g1(O)、g2(O)、g3(O)）的闭式表达式，支持理论分析。
• 本文推测，对任意ε>0，存在足够大的M，使得该算法在渐近几乎必然的意义下实现(1+ε)-近似。