[论文解读] Euler-Plateau, with a twist

Aisa Biria, Eliot Fried|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Cellular Mechanics and Interactions参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文通过在边界环的扭转刚度中引入，推广了欧拉-普拉托问题，推导出参数化框架下的欧拉-拉格朗日方程，并进行了分岔分析。它确定了两个控制稳定性的无量纲参数：一个来自原始欧拉-普拉托问题，另一个结合了扭转刚度、弯曲刚度和环尺寸。主要结果表明，扭转可稳定抵抗横向屈曲，但在存在表面张力时会降低不稳定性的临界扭转值。

ABSTRACT

A generalization of the Euler-Plateau problem to account for the energy contribution due to twisting of the bounding loop is proposed. Euler-Lagrange equations are derived in a parameterized setting and a bifurcation analysis is performed. A pair of dimensionless parameters govern bifurcations from a flat, circular ground state. While one of these is familiar from the Euler-Plateau problem, the other encompasses information about the ratio of the twisting to bending rigidities, twist, and size of the loop. For sufficiently small values of the latter parameter, two separate groups of bifurcation modes are identified. On the other hand, for values greater than the critical twist arising in Michell's problem of the bifurcation of a twisted annular ring, only one bifurcation mode exists. Bifurcation diagrams indicate that a loop with greater twisting rigidity shows more resistance to transverse buckling. However, a twisted and closed filament spanned by a surface endowed with uniform surface tension buckles at a twist less than the critical value for an elastic ring.

研究动机与目标

• 通过考虑边界环扭转所贡献的能量，将欧拉-普拉托问题进行扩展。
• 在柔性环被肥皂膜张紧的参数化几何设定下，推导欧拉-拉格朗日方程。
• 使用两个无量纲参数（其中一个捕捉扭转刚度与环尺寸的影响）分析从平坦圆形基态出发的分岔。
• 研究扭转刚度如何影响对横向屈曲和面内屈曲模式的稳定性。
• 为高密度脂蛋白、生物膜和肠道系膜等生物系统提供一个模型，其中弹性边界与表面张力相互竞争。

提出的方法

• 采用参数化公式描述通过从单位圆盘到三维空间曲面的光滑双射映射来表示张紧表面，且边界与环的中心线相匹配。
• 净势能建模为环的弯曲能与扭转能之和以及肥皂膜的表面能，同时以不可伸长性作为约束条件。
• 通过在直线不可伸长性约束下对总能量进行变分，推导出环与曲面的耦合方程组。
• 围绕平坦圆形基态对平衡方程进行线性化，得到一个系统，其中横向和面内扰动通过边界条件耦合。
• 使用两个无量纲参数进行分岔分析：一个来自欧拉-普拉托问题（关联表面张力与弯曲刚度），另一个结合了扭转刚度、弯曲刚度和无量纲扭转度量。
• 线性化系统的解用于将分岔模态分类为面内型与非面内型家族，具体取决于扭转大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边界环中引入扭转刚度后，如何改变欧拉-普拉托问题中平坦圆形构型的稳定性？
• RQ2 引入扭转后出现的分岔模态是什么？与经典欧拉-普拉托问题中的模态有何不同？
• RQ3 扭转刚度与弯曲刚度之比如何影响不稳定性的临界面积自由能参数值？
• RQ4 当表面张力均匀时，与无扭转环相比，扭转的闭合纤维是否表现出对横向屈曲更强的抗性？
• RQ5 无量纲扭转参数在决定分岔模态的数量和特性方面起什么作用？

主要发现

• 当与扭转相关的无量纲参数取足够小的值时，会出现两组不同的分岔模态：一组类似于欧拉-普拉托问题的面内模态，另一组具有非面内特性。
• 当扭转参数超过米切尔关于扭转环形环问题的临界值时，仅存在单一的分岔模态，表明不稳定性行为发生定性变化。
• 扭转刚度更高的环对横向屈曲表现出更强的抵抗能力，分岔图显示其不稳定性临界值更高。
• 然而，当存在表面张力时，扭转且闭合的纤维在低于弹性环临界扭转值的扭转下即发生屈曲，表明表面张力对扭转构型具有 destabilizing 效应。
• 非零扭转的分岔模态结合了欧拉-普拉托问题中观察到的面内模态与米切尔问题中观察到的非面内模态的特征。
• 线性化分析表明，通过边界条件，横向与面内扰动发生耦合，导致依赖于扭转的复杂模态相互作用。