[论文解读] Evaluations of nonlinear Euler sums of weight ten

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通过生成函数和积分表示，系统评估了权重为十的非线性欧拉和，推导出所有二次欧拉和的闭式表达，并建立了多重 zeta 值与非线性欧拉和之间的关系。主要贡献是将这些和完全约化为有理系数的 zeta 值线性组合、zeta 值乘积，以及不可约和 $ S_{2,6} $ 和 $ S_{2,8} $，并通过 Mathematica 进行了数值验证。

ABSTRACT

In this paper we present a new family of identities for Euler sums and integrals of polylogarithms by using the methods of generating function and integral representations of series. Then we apply it to obtain the closed forms of all quadratic Euler sums of weight equal to ten. Furthermore, we also establish some relations between multiple zeta (star) values and nonlinear Euler sums. As applications of these relations, we give new closed form representations of several cubic Euler sums through single zeta values and linear sums. Finally, with the help of numerical computations of Mathematica or Maple, we evaluate several other Euler sums of weight ten.

研究动机与目标

• 推导出所有权重为十的二次欧拉和的闭式表达。
• 建立多重 zeta（星型）值与权重为十的非线性欧拉和之间的关系。
• 将三次欧拉和表示为单个 zeta 值和线性和的线性组合。
• 使用符号计算工具（如 Mathematica 和 Maple）对恒等式进行数值验证。
• 提出并支持关于权重为十的所有非交错欧拉和可约性的猜想。

提出的方法

• 采用生成函数技术推导欧拉和与多对数积分的恒等式。
• 利用级数的积分表示将欧拉和与多重 zeta 值联系起来。
• 应用留数计算和围道积分方法来评估非线性和。
• 将高权重和约化为 $ \zeta(10) $、$ \zeta^2(5) $、$ \zeta(3)\zeta(7) $、$ \zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) $、$ \zeta^2(3)\zeta(4) $、$ \zeta(2)S_{2,6} $ 和 $ S_{2,8} $ 的组合。
• 使用符号计算软件（Mathematica/Maple）对推导出的恒等式进行数值验证，精度达 30 位小数。
• 提出并测试关于权重为十的不可约欧拉和结构的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有权重为十的二次欧拉和是否都能用已知的 zeta 值和不可约和表示为闭式？
• RQ2 多重 zeta（星型）值与权重为十的非线性欧拉和之间存在何种关系？
• RQ3 权重为十的三次欧拉和是否可约化为 zeta 值和 $ S_{2,6} $、$ S_{2,8} $ 的线性组合？
• RQ4 所有非交错欧拉和是否都能约化为有限个基元素？
• RQ5 组合和 $ \zeta(\overline{2m},2) + 2m\zeta(\overline{2m+1},1) $ 是否能用非交错双重 zeta 值表示？

主要发现

• 所有权重为十的二次欧拉和均可约化为 $ \zeta(10) $、$ \zeta^2(5) $、$ \zeta(3)\zeta(7) $、$ \zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) $、$ \zeta^2(3)\zeta(4) $、$ \zeta(2)S_{2,6} $ 和 $ S_{2,8} $ 的有理系数线性组合。
• 推导出 $ S_{125,2} $ 的闭式表达为 $ \frac{187}{128}\zeta(10) + \frac{111}{32}\zeta^2(5) + \frac{847}{32}\zeta(3)\zeta(7) - \frac{35}{2}\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) - \frac{7}{4}\zeta^2(3)\zeta(4) + \frac{25}{4}\zeta(2)S_{2,6} - \frac{387}{64}S_{2,8} $。
• 求得 $ S_{{1^4}2,4} $ 的值为 $ -\frac{48071}{480}\zeta(10) + \frac{569}{8}\zeta^2(5) + \frac{429}{8}\zeta(3)\zeta(7) + 28\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) - \frac{97}{2}\zeta^2(3)\zeta(4) - 4\zeta(2)S_{2,6} - \frac{225}{16}S_{2,8} $。
• 将 $ S_{123,4} $ 表示为 $ -\frac{2849}{192}\zeta(10) + \frac{59}{8}\zeta^2(5) + \frac{303}{16}\zeta(3)\zeta(7) - 5\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) + \zeta^2(3)\zeta(4) - \frac{7}{4}\zeta(2)S_{2,6} - \frac{51}{16}S_{2,8} $。
• 数值验证支持猜想 7.1：所有非交错欧拉和均可约化为指定的基元素。
• 对于 $ m=1,2,3 $，已证明和 $ \zeta(\overline{2m},2) + 2m\zeta(\overline{2m+1},1) $ 可用非交错双重 zeta 值表示，并给出了显式计算结果。