[论文解读] Even dimensional homogeneous Finsler spaces with positive flag curvature

Ming Xu, Shaoqiang Deng+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文使用Finsler子丛技巧推导旗曲率公式，对具有正旗曲率的偶维齐性Finsler流形进行分类。证明了此类空间必存在具有正截面曲率的$G$-不变黎曼度量，且其完整分类与Wallach对偶维紧致秩一对称空间的分类完全一致，包括若干例外情况，其中多个情形存在非黎曼Finsler度量。

ABSTRACT

In this paper, we use the technique of Finslerian submersion to deduce a flag curvature formula for homogeneous Finsler spaces. Based on this formula, we give a complete classification of even-dimensional smooth coset spaces $G/H$ admitting $G$-invariant Finsler metrics with positive flag curvature. It turns out that the classification list coincides with that of the even dimensional homogeneous Riemannian manifolds with positive sectional curvature obtained by N.R. Wallach. We also find out all the coset spaces admitting invariant non-Riemannian Finsler metrics with positive flag curvature.

研究动机与目标

• 对所有偶维光滑齐性空间$G/H$进行分类，要求其存在$G$-不变的Finsler度量且具有正旗曲率。
• 确定此类Finsler度量是否必然为黎曼度量，或在保持正旗曲率的前提下能否为非黎曼度量。
• 建立Finsler几何中正旗曲率与经典正曲率齐性黎曼流形分类之间的联系。
• 利用代数与几何方法，将正曲率齐性Finsler流形的分类扩展至偶维情形。
• 在已知的对称与例外齐性空间上，给出具有正旗曲率的非黎曼Finsler度量的显式构造。

提出的方法

• 利用Finsler子丛技巧，推导齐性Finsler流形的旗曲率公式。
• 将推导出的旗曲率公式应用于几何问题，将其转化为代数分类问题。
• 利用稳定性表示的传递性及切空间$\mathfrak{m}$关于$\mathrm{Ad}(H)$-不变子空间的分解，分析曲率行为。
• 通过黎曼内积的扰动构造一维非黎曼Finsler度量族，例如$F_\varepsilon = \sqrt{\alpha_1 + \alpha_2 + \varepsilon \sqrt{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}}$，证明当小量$\varepsilon > 0$时旗曲率为正。
• 借助Wallach对偶维紧致秩一对称空间及例外对的分类，识别所有可能候选者。
• 利用旗曲率关于Finsler度量的连续性，证明正曲率黎曼度量的小扰动可产生具有正旗曲率的非黎曼Finsler度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些偶维齐性齐性空间$G/H$可赋予$G$-不变的Finsler度量且具有正旗曲率？
• RQ2 此类Finsler度量是否必然为黎曼度量，或非黎曼度量是否也能产生正旗曲率？
• RQ3 正曲率齐性Finsler流形的分类在多大程度上与经典正曲率齐性黎曼流形的分类一致？
• RQ4 是否可在已知的对称与例外齐性空间上显式构造具有正旗曲率的非黎曼Finsler度量？
• RQ5 在Finsler设定下，哪些关于 isotropy 表示及切空间$\mathfrak{m}$的分解条件能保证正旗曲率？

主要发现

• 任何具有正旗曲率的偶维齐性Finsler流形，必存在具有正截面曲率的$G$-不变黎曼度量。
• 具有正旗曲率的偶维齐性Finsler流形的完整列表，与Wallach对偶维紧致秩一对称空间及特定例外对的分类完全一致。
• 对于齐性空间$\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{Sp}(n-1)\mathrm{U}(1)$，存在既为黎曼又为非黎曼的Finsler度量，其正旗曲率可通过$(\alpha_1, \alpha_2)$-度量构造。
• 对于$\mathrm{SU}(3)/T^2$与$\mathrm{Sp}(3)/\mathrm{Sp}(1)^3$，存在通过扰动黎曼度量构造的非黎曼Finsler度量，形式为$F_\varepsilon = \sqrt{t_1\alpha_1^2 + t_2\alpha_2^2 + t_3\alpha_3^2 + \varepsilon\sqrt{\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2}}$，且具有正旗曲率。
• 在$\mathrm{G}_2/\mathrm{SU}(3) \cong S^6$上，所有具有正旗曲率的$G$-不变Finsler度量必为黎曼度量，且具有常正截面曲率。
• 该分类在局部等距下稳定：任何偶维正曲率齐性Finsler流形，无论其全局覆盖或中心结构如何，均局部等距于定理1.3中列出的空间之一。