[论文解读] Every function is the representation function of an additive basis for the integers

Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2003

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 6被引用 29

一句话总结

本文证明了对于任意函数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $，其零点集有限，存在一个加法基 $ A \subseteq \mathbb{Z} $，使得对所有 $ n \in \mathbb{Z} $ 和每个 $ h \geq 2 $，有 $ f(n) = r_{A,h}(n) $。该构造确保 $ A $ 可以被制成任意稀疏，从而解决了加法数论中关于整数上表示函数的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

Let A be a set of integers. For every integer n, let r_{A,h}(n) denote the number of representations of n in the form n = a_1 + a_2 + ... + a_h, where a_1, a_2,...,a_h are in A and a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_h. The function r_{A,h}: Z o N_0 \cup \infty is the representation function of order h for A. The set A is called an asymptotic basis of order h if r_{A,h}^{-1}(0) is finite, that is, if every integer with at most a finite number of exceptions can be represented as the sum of exactly h not necessarily distinct elements of A. It is proved that every function is a representation function, that is, if f: Z o N_0 \cup \infty is any function such that f^{-1}(0) is finite, then there exists a set A of integers such that f(n) = r_{A,h}(n) for all n in Z. Moreover, the set A can be arbitrarily sparse in the sense that, if ϕ(x) o \infty, then there exists a set A with f(n) = r_{A,h}(n) such that card{a in A : |a| \leq x} < ϕ(x) for all sufficiently large x.

研究动机与目标

• 确定哪些 $ \mathbb{Z} $ 上的函数可作为加法基 $ A $ 的表示函数 $ r_{A,h} $，其阶数为 $ h $。
• 解决如下问题：是否每个函数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ 满足 $ f^{-1}(0) $ 有限，都可实现为某个子集 $ A \subseteq \mathbb{Z} $ 的 $ r_{A,h} $。
• 表明此类基 $ A $ 可被构造为任意稀疏，即使密度函数 $ \varphi(x) \to \infty $。
• 对比 $ \mathbb{Z} $ 上表示函数的行为与 $ \mathbb{N}_0 $ 上更为受限的情形，后者仍存在唯一性与有界性猜想未解。

提出的方法

• 使用递归构造方法，通过贪心算法构建集合 $ A $，使得对所有 $ n \in \mathbb{Z} $，有 $ r_{A,h}(n) = f(n) $，并确保所有所需表示均被实现且无重复计数。
• 应用阶数为 $ h $ 的渐近基概念，即仅有限多个整数不能表示为 $ h $ 个 $ A $ 中元素之和。
• 使用计数函数 $ A(-x,x) $ 控制密度，证明对任意给定的 $ \varphi(x) \to \infty $，有 $ \text{card}(\{a \in A : |a| \leq x\}) < \varphi(x) $。
• 利用当 $ h \geq 2 $ 时，和集的结构允许对每个整数独立分配表示次数，从而具备充分的灵活性。
• 利用平移不变性与加法平移，调整整数轴上各点的表示次数。
• 通过归纳法与对 $ f(n) $ 取值的分类讨论，确保每个整数 $ n $ 在 $ hA $ 中恰好有 $ f(n) $ 个表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个函数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $，其零点集有限，是否都可实现为某个集合 $ A \subseteq \mathbb{Z} $ 和 $ h \geq 2 $ 的表示函数 $ r_{A,h} $？
• RQ2 此类集合 $ A $ 是否可被构造为任意稀疏，即对任意给定的 $ \varphi(x) \to \infty $，满足 $ \text{card}(\{a \in A : |a| \leq x\}) < \varphi(x) $？
• RQ3 $ \mathbb{Z} $ 上表示函数的结构与 $ \mathbb{N}_0 $ 上有何不同，后者仍存在唯一性与有界性猜想未解？
• RQ4 是否存在对 $ \mathbb{Z} $ 上阶数为 $ h $ 的渐近基的表示函数集合 $ \mathcal{R}_0(\mathbb{Z}, h) $ 的刻画？
• RQ5 此类基的密度能否最大化，或对 $ f \in \mathcal{F}_0(\mathbb{Z}) $，是否存在 $ A(-x,x) $ 的上界？

主要发现

• 对每个 $ h \geq 2 $ 及每个函数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ 满足 $ f^{-1}(0) $ 有限，均存在集合 $ A \subseteq \mathbb{Z} $，使得对所有 $ n \in \mathbb{Z} $，有 $ r_{A,h}(n) = f(n) $。
• 集合 $ A $ 可被构造为任意稀疏：对任意满足 $ \varphi(x) \to \infty $ 的函数 $ \varphi(x) \geq 0 $，存在 $ A $ 使得对所有 $ x $，有 $ \text{card}(\{a \in A : |a| \leq x\}) < \varphi(x) $。
• 该结果与 $ \mathbb{N}_0 $ 的情形形成鲜明对比：在 $ \mathbb{N}_0 $ 上，表示函数受到高度限制——例如，Nathanson 证明至多只有一个集合 $ A $ 可实现给定的 $ f \in \mathcal{F}_0(\mathbb{N}_0) $。
• Erdős-Turán 关于 $ \mathbb{N}_0 $ 上无界表示函数的猜想仍悬而未决，且集合 $ \mathcal{R}_0(\mathbb{N}_0, h) $ 尚未完全刻画。
• 对 $ h=2 $，本文的构造改进了已知的密度界：Cilleruelo 与 Nathanson 证明了 $ A(-x,x) \gg x^{\sqrt{2}-1} $，优于早期的 $ x^{1/(2h-1)} $ 界。
• 该结果可推广至满足 $ \{2g : g \in G\} $ 无限的可数阿贝尔群 $ G $，此时有 $ \mathcal{R}_0(G,2) = \mathcal{F}_0(G) $，并适用于某些半群。