[论文解读] Every Property of Outerplanar Graphs is Testable

Hiro Ito|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文引入了分层无标度（HSF）多图，这是一种自然类，用于建模包含高阶中心节点的真实世界无标度网络。证明了在幂律指数大于2的HSF图上，所有图属性均可实现常数时间测试，利用了超有限性及经过修改的划分预言机，将有界度图属性测试扩展至一般多图。

ABSTRACT

A D-disc around a vertex v of a graph G=(V,E) is the subgraph induced by all vertices of distance at most D from v. We show that the structure of an outerplanar graph on n vertices is determined, up to modification (insertion or deletion) of at most epsilon n edges, by a set of D-discs around the vertices, for D=D(epsilon) that is independent of the size of the graph. Such a result was already known for planar graphs (and any hyperfinite graph class), in the limited case of bounded degree graphs (that is, their maximum degree is bounded by some fixed constant, independent of |V|). We prove this result with no assumption on the degree of the graph. A pure combinatorial consequence of this result is that two outerplanar graphs that share the same local views are close to be isomorphic. We also obtain the following property testing results in the sparse graph model: * graph isomorphism is testable for outerplanar graphs by poly(log n) queries. * every graph property is testable for outerplanar graphs by poly(log n) queries. We note that we can replace outerplanar graphs by a slightly more general family of k-edge-outerplanar graphs. The only previous general testing results, as above, where known for forests (Kusumoto and Yoshida), and for some power-law graphs that are extremely close to be bounded degree hyperfinite (by Ito).

研究动机与目标

• 定义一个自然的多图类，用于建模包含高阶中心节点的真实世界无标度网络。
• 证明该图类的一个广泛子类——幂律指数大于2的图——是超有限的。
• 证明在该子类上，所有图属性均可实现常数时间测试，即使在无度数限制的情况下。
• 将属性测试的适用范围从有界度模型扩展至具无标度结构的一般多图。
• 为具有幂律度分布的大规模真实世界网络上的高效亚线性算法提供理论基础。

提出的方法

• 基于无标度网络的分层同构与孤立团结构，引入了分层无标度（HSF）多图。
• 定义c-孤立团，并利用其构造具有幂律度分布的HSF多图。
• 通过结构分解与有界邻域增长，证明当幂律指数超过2时，HSF图是超有限的。
• 通过在常数半径内局部探索邻域（忽略超过阈值的高阶顶点），构建确定性划分预言机。
• 通过将高阶顶点视为可忽略，将Newman和Sohler（STOC’11）的有界度图框架适配至一般多图模型。
• 使用根子图的归一化频率向量（圆盘与频率分布）来比较局部结构，并以常数查询复杂度测试属性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在包含高阶中心节点的无标度网络上，对所有图属性实现常数时间测试？
• RQ2 幂律指数大于2的分层无标度（HSF）多图类是否为超有限？
• RQ3 能否将有界度图的属性测试框架扩展至无度数限制的一般多图？
• RQ4 无标度网络中中心节点的存在是否阻碍常数时间属性测试，还是可通过结构分解处理？
• RQ5 能否为HSF图构建划分预言机，以在一般图模型中实现高效属性测试？

主要发现

• 在幂律指数大于二的HSF多图子类上，所有属性均可实现常数时间测试。
• 该子类是超有限的，即通过移除少量边可将其划分为小连通分量。
• 该类存在确定性划分预言机，可实现对常数半径内邻域的局部探索。
• 该算法通过忽略度数超过阈值的顶点，对有界度属性测试框架进行修改，从而有效将图简化为有界度结构。
• 查询复杂度被限制在 δ^O(δ²/ε + n₀) 内，其中 δ 为局部探索中的最大度数，ε 为距离参数。
• 该结果首次为具有广泛真实世界无标度网络特征的一般图模型，建立了通用的常数时间属性测试算法。