[论文解读] Exact solutions of the Wheeler-DeWitt equation with ordering term in a dark energy scenario

C. R. Muniz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 31被引用 5

一句话总结

本论文针对弗里德曼-罗伯逊-沃克宇宙学中的有序参数 q，给出了惠勒-德维特方程的精确解析解，研究了幻影暗能量（ω < −1）和宇宙学常数（ω = −1）的量子宇宙学。当 q = 0 时，宇宙从有限且非奇异的尺度因子开始；而当 q = 1 时，宇宙倾向于始于大爆炸起源；两种情形均预测在幻影能量作用下出现有限时间内的大撕裂，该结论通过哈密顿-雅可比动力学得到验证。

ABSTRACT

We investigate the quantum evolution of the universe in the presence of two types of dark energies. First, we consider the phantom class ($\omega<-1$) which would be responsible for a super-accelerated cosmic expansion, and then we apply the procedure to an ordinary $\Lambda>0$ vacuum ($\omega=-1$). This is done by analytically solving the Wheeler-DeWitt equation with ordering term (WdW) in the cosmology of Friedmann-Robertson-Walker. In this paper, we find exact solutions in the scale factor $a$ and the ordering parameter $q$. For $q=1$ it is shown that the universe has a high probability of evolving from a big bang singularity. On the other hand, for $q = 0$ the solution indicates that an initial singularity is unlikely. Instead, the universe has maximal probability of starting with a finite well-defined size which we compute explicitly at primordial times. We also study the time evolution of the scale factor by means of the Hamilton-Jacobi equation and show that an ultimate big rip singularity emerges explicitly from our solutions. The phantom scenario thus predicts a dramatic end in which the universe would reach an infinite scale factor in a finite cosmological time as pointed by Caldwell et al. in a classical setup. Finally, we solve the WdW equation with ordinary constant dark energy and show that in this case the universe does not rip apart in a finite era.

研究动机与目标

• 通过惠勒-德维特方程的精确解，研究在幻影暗能量（ω < −1）和宇宙学常数（ω = −1）存在下的宇宙量子演化。
• 通过参数 q 解决惠勒-德维特方程中的有序性歧义，该参数影响小尺度因子下波函数 Ψ(a) 的行为。
• 确定宇宙是始于大爆炸奇点（a = 0）还是有限且非奇异的尺度，取决于有序参数 q。
• 利用哈密顿-雅可比形式化方法分析尺度因子的时间演化，并评估有限时间内是否存在大撕裂奇点。

提出的方法

• 通过参数 q 表征的有序项求解惠勒-德维特方程，该参数修改了尺度因子 a 的哈密顿量中的动能项。
• 在极小超空间中应用类似薛定谔方程的形式，波函数依赖于尺度因子 a 和有序参数 q。
• 利用哈密顿-雅可比形式化方法，从惠勒-德维特方程的精确解中推导出尺度因子 t(a) 的时间演化。
• 分析 q = 0 和 q = 1 情况下尺度因子 a(t) 的行为，尤其关注早期和大尺度极限下的表现。
• 与弗里德曼方程的经典解进行比较，以验证半经典的演化行为。
• 利用公式 (20) 评估达到大撕裂奇点所需的时间，该时间依赖于幻影能量密度和普朗克常数 ℏ。

实验结果

研究问题

• RQ1 惠勒-德维特方程中有序参数 q 的选择是否导致宇宙初始状态为非奇异，还是更倾向于在 a = 0 处形成大爆炸奇点？
• RQ2 惠勒-德维特方程的精确解析解是否能预测在幻影暗能量（ω < −1）作用下出现有限时间内的大撕裂奇点？
• RQ3 对于 q = 0，宇宙的初始尺度因子如何依赖于幻影能量密度和普朗克常数 ℏ？
• RQ4 哈密顿-雅可比方法是否证实，在幻影能量作用下尺度因子会在有限时间内趋于无穷大？该时间如何依赖于 ℏ？
• RQ5 在奇点形成和时间演化方面，尺度因子在幻影能量（ω < −1）和宇宙学常数（ω = −1）下的行为有何不同？

主要发现

• 当 q = 0 时，波函数 Ψ(a) 在小 a 处保持有限，表明宇宙具有高概率从有限且非奇异的尺度因子开始，该值在公式 (12) 中明确表示为幻影能量密度和普朗克常数的函数。
• 当 q = 1 时，波函数在 a = 0 处发散，表明宇宙更可能从大爆炸奇点开始，且该概率随幻影能量含量的增加而上升。
• 哈密顿-雅可比分析证实，在幻影能量（ω = −3/2）作用下，尺度因子在有限宇宙时空中趋于无穷大，表明存在大撕裂奇点，且该时间依赖于 ℏ，如公式 (20) 所示。
• 相比之下，对于 ω = −1（宇宙学常数），尺度因子仅在无限时间内趋于无穷大，不产生大撕裂奇点，该结论得到图 5 中 t(a) 曲线的证实。
• 该模型在早期时间预测了尺度因子的周期性振荡，振幅逐渐减小，与近期超新星观测数据及 Ringermacher & Mead (2019) 的结果一致。
• 结果表明，即使在大尺度区域，量子效应（通过 ℏ 表征）仍会影响大撕裂的时间，表明宇宙的最终命运本质上仍具有量子力学性质。