[论文解读] Exact solutions to homogeneous and quasi-homogeneous systems of nonlinear ODEs

Andrei D. Polyanin, Alexei I. Zhurov|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过幂律和指数试探法，为一阶拟齐次非线性常微分方程组及二阶齐次非线性常微分方程组提供了精确的解析解。推导了以初值和系统中任意函数之间的代数约束表示解存在的条件，关键结果表明解依赖于将初值与系统中任意函数联系起来的代数约束。

ABSTRACT

This note considers fairly general quasi-homogeneous systems of first-order nonlinear ODEs and homogeneous systems of second-order nonlinear ODEs that contain arbitrary functions of several arguments. It presents several exact solutions to these systems in terms of elementary functions.

研究动机与目标

• 将现有非线性常微分方程组求解方法推广至包含任意函数的拟齐次与齐次结构。
• 为广泛类别的非线性常微分方程组提供以初等函数表示的闭式精确解。
• 建立精确解存在的条件，特别是初值的代数约束条件。
• 统一并推广先前关于多项式非线性项的齐次系统结果。
• 通过对称性假设将二阶系统约化为可解的二阶常微分方程。

提出的方法

• 提出幂律试探法：对于一阶系统，设 $ x_n(t) = a_n(1 + Ct)^{-1/m_n} $，导出初值 $ a_n $ 的代数约束。
• 应用比例解试探法 $ x_n(t) = a_n y(t) $，将二阶系统约化为单个关于 $ y(t) $ 的二阶常微分方程。
• 推导出约化后的二阶常微分方程：$ y'' = y^m (y')^k F_n(\text{比值}) $，在特定参数条件下可解。
• 对 $ m + k - 1 \neq 0 $ 使用试探法 $ y = A(1 + Ct)^\rho $，对 $ m + k - 1 = 0 $ 使用试探法 $ y = B e^{Ct} $，获得显式解。
• 通过代数或超越方程，推导出任意函数 $ F_n $、初值 $ a_n $ 与参数 $ C, A, B $ 之间的相容性条件。
• 证明当函数在初值比值处的取值等于常数 $ \lambda $ 时，解存在，从而保证约化后常微分方程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟齐次一阶非线性常微分方程组在何种条件下可获得初等函数形式的精确解？
• RQ2 如何将齐次二阶非线性常微分方程组约化为单个可解的二阶常微分方程？
• RQ3 对于具有幂律非线性项和比值函数的二阶系统，精确解具有何种形式？
• RQ4 非线性项中的参数 $ m $ 和 $ k $ 如何影响精确解的存在性与形式？
• RQ5 当系统表现出标度对称性时，能否构造出精确解？初值将受到何种约束？

主要发现

• 系统 (1) 存在形式为 $ x_n(t) = a_n(1 + Ct)^{-1/m_n} $ 的精确解，其中常数 $ a_n $ 满足代数约束 $ a_n^{m_n} m_n F_n(\text{比值}) + C = 0 $。
• 在齐次情形 $ m_1 = \cdots = m_N = m $ 下，解的形式简化为 $ x_n(t) = a_n(1 + Ct)^{-1/m} $，其中 $ a_n $ 受约束于 $ a_n^m m F_n(\text{比值}) + C = 0 $。
• 在退化情形 $ m = 0 $ 下，解为指数形式：$ x_n(t) = a_n e^{-Ct} $，其中 $ F_n(\text{比值}) + C = 0 $。
• 对于二阶系统，解 $ x_n(t) = a_n y(t) $ 将系统约化为单个关于 $ y(t) $ 的常微分方程，当 $ m + k - 1 \neq 0 $ 时，该方程存在幂律解 $ y = A(1 + Ct)^\rho $。
• 当 $ m + k - 1 = 0 $ 时，解为指数形式：$ y = B e^{Ct} $，其中 $ \lambda = C^{2-k} $。
• 当 $ m = -3, k = 0 $ 时，解为 $ x_n(t) = a_n (C_1 t^2 + C_2 t + C_3)^{1/2} $，其中 $ C_1 C_3 - \frac{1}{4} C_2^2 = \lambda $，且 $ a_n $ 满足涉及 $ F_n $ 在初值比值处取值的约束条件。