[论文解读] Exact values for three domination-like problems in circular and infinite grid graphs of small height

Marwane Bouznif, Julien Darlay+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2017

graph theory and CDMA systems被引用 5

一句话总结

本论文针对正方形、三角形和王国王型网格中高度不超过4的环形与无限网格图，给出了三种类似支配码——识别码（ID）、定位支配码（LD）和定位全支配码（LTD）——的精确最小密度与基数。通过在旋转图（rotagraphs）中基于伪-d-局部性质的通用框架进行计算机搜索，作者得出了新的精确值，并为已知结果提供了另一种证明，改进了此前关于高度为3的正方形条带中ID码的界限（最优密度：7/18），以及高度为2的三角形条带中LTD码的界限（最优密度：1/3）。

ABSTRACT

In this paper we study three domination-like problems, namely identifying codes, locating-dominating codes, and locating-total-dominating codes. We are interested in finding the minimum cardinality of such codes in circular and infinite grid graphs of given height. We provide an alternate proof for already known results, as well as new results. These were obtained by a computer search based on a generic framework, that we developed earlier, for the search of a minimum labeling satisfying a pseudo-d-local property in rotagraphs.

研究动机与目标

• 解决小高度网格图中类似支配码的精确值缺失问题，特别是针对识别码、定位支配码和定位全支配码。
• 为高度不超过4的正方形、三角形和王国王型网格中的环形与无限条带，提供这些码的精确最小基数与密度。
• 开发并应用一种基于伪-d-局部性质的通用计算框架，系统性地探索并验证最优码配置。
• 改进先前已知的界限，特别是针对高度为3的正方形条带中的识别码，以及高度为2的三角形条带中的定位全支配码。
• 通过可复现、基于算法的结果，为未来在结构化网格拓扑中优化码的工作奠定基础。

提出的方法

• 将先前工作中提出的通用理论框架适配用于建模和求解旋转图中具有伪-d-局部约束的最小标记问题，特别应用于网格图。
• 实现一种计算机搜索算法，系统性地评估固定高度与大小的有限环形条带中的所有可能码配置。
• 利用动态规划与状态转移技术，实现每个状态的常数时间探索，从而高效计算最小基数码。
• 通过推论2将有限环形条带的结果应用于推导无限条带的最小密度，该推论建立了环形条带与无限条带解之间的联系。
• 通过与文献中已知界限和模式的对比来验证结果，并利用周期性模式确认最优密度。
• 采用技术优化措施，如内存高效的状体表示和剪枝策略，以减少搜索过程中的运行时间和内存使用量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正方形网格中，高度为3的环形条带的识别码的最小基数是多少？
• RQ2 在三角形网格中，高度为2的无限条带的定位全支配码的最小密度是多少？
• RQ3 在高度为4的无限条带中，定位支配码的最小密度与较小高度下的结果相比如何？
• RQ4 所提出的计算框架能否为小高度网格中此前未知的码配置提供精确结果？
• RQ5 高度为3的正方形条带中识别码的最优密度是否与理论下界一致？若是，何种模式可实现该密度？

主要发现

• 在高度为3的无限正方形条带中，识别码的最小密度恰好为 7/18，优于此前已知的上界 2/5。
• 在正方形网格中，对于大小为 n、高度为3的环形条带，LTD码的最小基数为 n（当 n ≡ 0 mod 6 时），否则为 n+1，其最小密度为 1/3。
• 在三角形网格中，高度为2的无限条带中LTD码的最小密度为 1/3，由周期为3的周期性模式实现。
• 在正方形网格中，高度为4的环形条带中ID码的最小基数为条带大小的 11/28，为新发现的精确结果。
• 在高度为3的三角形条带中，LTD码的最优周期性模式实现了 1/3 的密度，且对所有大小能被3整除的环形条带均有效。
• 由环形条带解导出的无限条带结果表明，无限网格中的最小密度不大于有限条带中的密度，目前所知无限正方形网格中ID码的最小密度为 7/20。