[论文解读] Exactly soluble spin-1/2 models on three-dimensional lattices and non-abelian statistics of closed string excitations

Tieyan Si, Yue yu|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2007

Advanced Condensed Matter Physics参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文提出了一种在三维钻石晶格上定义的精确可解自旋-1/2模型，推广了基塔耶夫的蜂窝晶格模型，该模型在无能隙相中表现出遵守非交换统计的闭合弦激发，在有能隙相中则遵守阿贝尔统计。该模型实现了这两种相之间的拓扑相变，并通过类似威尔逊环路的激发实现了非交换统计的晶格实现，与SU(2) k=2陈-西蒙斯理论相关联。

ABSTRACT

Exactly soluble spin-$\frac{1}2$ models on three-dimensional lattices are proposed by generalizing Kitaev model on honeycomb lattice to three dimensions with proper periodic boundary conditions. The simplest example is spins on a diamond lattice which is exactly soluble. The ground state sector of the model may be mapped into a p-wave paired state on cubic lattice. We observe for the first time a topological phase transition from a gapless phase to a gapped phase in an exactly soluble spin model. Furthermore, the gapless phase can not be gapped by a perturbation breaking the time reversal symmetry. Unknotted and unlinked Wilson loops arise as eigen excitations, which may evolute into linked and knotted loop excitations. We show that these closed string excitations obey abelian statistics in the gapped phase and non-abelian statistics in the gapless phase.

研究动机与目标

• 将基塔耶夫在蜂窝晶格上提出的精确可解自旋-1/2模型推广至三维，特别是针对钻石晶格。
• 在三维自旋模型中识别并表征拓扑相，包括无能隙相和有能隙相。
• 证明闭合弦激发在无能隙相中表现出非交换统计，在有能隙相中表现出阿贝尔统计。
• 建立模型激发与三维陈-西蒙斯规范场论中威尔逊环路之间的联系，特别是SU(2) k=2理论。
• 首次在精确可解模型中展示有能隙相与无能隙相之间存在拓扑相变。

提出的方法

• 在具有自旋-1/2自由度的三维钻石晶格上构造哈密顿量，利用四种不同类型的近邻相互作用：x、y、z和v。
• 引入一组对易的环路算符 $ S_p $，它们作为运动积分，将希尔伯特空间投影到不同的拓扑子空间中。
• 通过 $ \sigma^x = i b_x c $, $ \sigma^y = i b_y c $, $ \sigma^z = i b_z c $ 将自旋模型映射到马约拉纳费米子表示，并施加约束 $ b_x b_y b_z c = 1 $。
• 定义链路变量 $ u_{ij} = i b_i b_j $，其守恒且取值为 $ \pm 1 $，从而可将哈密顿量重写为费米子跃迁和配对项的形式。
• 利用利布定理识别所有 $ u_{ij} = 1 $ 时的基态（对应 $ S_p = 1 $），并将环路激发识别为具有奇数个 $ u_{ij} = -1 $ 的构型。
• 在连续极限下将三维晶格紧化为 $ S^3 $，并利用共形场论和单值性矩阵分析威尔逊环路激发，通过 $ B $-矩阵和辫子关系展示非交换统计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个三维精确可解的自旋-1/2模型，使其支持具有非阿贝尔任意子弦激发的拓扑序？
• RQ2 此类模型中，有能隙相与无能隙相之间的相变本质为何？
• RQ3 该模型中的闭合弦激发如何实现非阿贝尔统计，其与陈-西蒙斯规范场论有何关联？
• RQ4 为何无能隙相对时间反演对称性破缺微扰具有鲁棒性？
• RQ5 该框架能否一致地描述未打结、未链接、链接及打结的环路激发的统计性质？

主要发现

• 该模型实现了从有能隙相（拓扑平凡，由零霍普夫不变量表征）到无能隙相（拓扑非平凡，由于霍普夫映射中的奇点导致非零绕数）的拓扑相变。
• 在有能隙相中，闭合弦激发服从阿贝尔统计，这由霍普夫不变量等价于动量空间中的 linking number 所证实。
• 在无能隙相中，闭合弦激发表现出非阿贝尔统计，单值性矩阵 $ B $ 不与单位矩阵成比例，且在 $ S^2 $ 上的三态希尔伯特空间满足 $ q = e^{i\frac{\tau}{2}} $, $ \tau = \pi/2 $ 的辫子关系。
• $ B $-矩阵的本征值为 $ \lambda_1 = e^{-i\pi/8} $, $ \lambda_2 = -e^{i3\pi/8} $，确认了非阿贝尔编织统计。
• 即使在时间反演对称性破缺微扰下，无能隙相仍保持无能隙，表明其具有拓扑保护性。
• 该模型提供了遵守非阿贝尔统计的威尔逊环路激发的晶格实现，与维滕在SU(2) k=2陈-西蒙斯理论中的构造极为相似。