[论文解读] Examples of extremal quasiconvex quadratic forms that are not polyconvex

Davit Harutyunyan, Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Composite Material Mechanics参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文证明了在四阶张量仅具有循环对称性和轴对称性时，存在极值的拟凸二次型，这些二次型并非多凸，而当具有完整立方对称性时，拟凸性蕴含多凸性。本文还确定了非仿射边界条件，从而在任意区域上获得这些二次型的精确积分界。

ABSTRACT

We prove that if the associated fourth order tensor of a quadratic form has a linear elastic cubic symmetry then it is quasiconvex if and only if it is polyconvex, i.e. a sum of convex and null-Lagrangian quadratic forms. We prove that allowing for slightly less symmetry, namely only cyclic and axis-reflection symmetry, gives rise to a class of extremal quasiconvex quadratic forms, that are not polyconvex. Non-affine boundary conditions on the potential are identified which allow one to obtain sharp bounds on the integrals of these extremal quasiconvex quadratic forms of $ abla u$ over an arbitrary region.

研究动机与目标

• 研究在弱于完整立方对称性的条件下，拟凸性是否蕴含二次型的多凸性。
• 识别一类极值的拟凸二次型，其并非多凸，从而挑战对称情况之外拟凸性与多凸性等价性的假设。
• 确定非仿射边界条件，使得这些极值二次型在任意区域上的积分获得精确界。

提出的方法

• 分析在循环对称性和轴对称性下与二次型相关的四阶张量的结构。
• 应用零拉格朗日量理论与凸性理论，对二次型进行多凸性分类。
• 通过对称性约化，构造出拟凸但非多凸的显式例子。
• 通过对势函数施加特定的非仿射边界条件，推导出这些形式积分的精确界。
• 采用变分方法，将边界数据与最优积分估计关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅存在循环对称性和轴对称性而非完整立方对称性时，二次型的拟凸性是否蕴含多凸性？
• RQ2 在对称性降低的情况下，是否存在非多凸的极值拟凸二次型？
• RQ3 对势函数施加何种非仿射边界条件，可使这些极值形式在任意区域上的积分获得精确界？
• RQ4 四阶张量的对称性特征如何影响其相关二次型的拟凸性与多凸性？

主要发现

• 在完整立方对称性下，二次型的拟凸性与多凸性等价。
• 当对称性降低至仅具有循环对称性和轴对称性时，存在非多凸的极值拟凸二次型。
• 此类极值形式的出现，是由于对称性不足，无法强制实现多凸性。
• 已识别出可使这些极值形式在任意区域上积分获得精确界的非仿射边界条件。
• 通过在指定边界数据下的变分分析推导出精确界，为能量积分提供了最优估计。