[论文解读] Exhausting the background approach for bounding the heat transport in Rayleigh-Bénard convection

Zijing Ding, Rich R. Kerswell|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 27被引用 2

一句话总结

该论文通过一种增强的背景方法，严格界定了二维 Rayleigh-Bénard 对流中的 Nusselt 数（Nu），该方法完全通过二维温度和速度背景场施加热方程和时间平均的 Boussinesq 方程。尽管将方法扩展至包含涡度约束和对称性破缺，该界仍顽固地保持在 Nu ≤ 0.055Ra^{1/2}，未能达到观测到的 Ra^{1/3} 标度，从而耗尽了该方法在该问题上的极限。

ABSTRACT

We revisit the optimal heat transport problem for Rayleigh-B\'enard convection in which a rigorous upper bound on the Nusselt number, $Nu$, is sought as a function of the Rayleigh number $Ra$. Concentrating on the 2-dimensional problem with stress-free boundary conditions, we impose the full heat equation as a constraint for the bound using a novel 2-dimensional background approach thereby complementing the `wall-to-wall' approach of Hassanzadeh \etal \,(\emph{J. Fluid Mech.} extbf{751}, 627-662, 2014). Imposing the same symmetry on the problem, we find correspondence with their result for $Ra \leq Ra_c:=4468.8$ but, beyond that, the optimal fields complexify to produce a higher bound. This bound approaches that by a 1-dimensional background field as the length of computational domain $L ightarrow\infty$. On lifting the imposed symmetry, the optimal 2-dimensional temperature background field reverts back to being 1-dimensional giving the best bound $Nu\le 0.055Ra^{1/2}$ compared to $Nu \le 0.026Ra^{1/2}$ in the non-slip case. % We then show via an inductive bifurcation analysis that imposing the full time-averaged Boussinesq equations as constraints (by introducing 2-dimensional temperature {\em and} velocity background fields) is also unable to lower this bound. This then exhausts the background approach for the 2-dimensional (and by extension 3-dimensional) Rayleigh-Benard problem with the bound remaining stubbornly $Ra^{1/2}$ while data seems more to scale like $Ra^{1/3}$ for large $Ra$. % Finally, we show that adding a velocity background field to the formulation of Wen \etal\, (\emph{Phys. Rev. E.} extbf{92}, 043012, 2015), which is able to use an extra vorticity constraint due to the stress-free condition to lower the bound to $ Nu \le O(Ra^{5/12})$, also fails to improve the bound.

研究动机与目标

• 通过改进的背景方法，严格界定了二维 Rayleigh-Bénard 对流中的 Nusselt 数（Nu）。
• 检验是否通过将完整热方程和时间平均的 Boussinesq 方程作为约束施加，能够改善 Nu 的上界。
• 研究对称性假设或涡度约束是否能将界降低至 Nu ≤ 0.055Ra^{1/2} 以下。
• 确定背景方法在预测湍流对流中观测到的 Nu ∼ Ra^{1/3} 标度方面是否已达到其根本极限。

提出的方法

• 该研究采用二维背景方法，将完整热方程作为约束，超越了标准投影方法。
• 引入二维温度和速度背景场，以捕捉最优流场结构中的空间复杂性。
• 在变分优化框架中，使用拉格朗日乘子强制实施动量方程和热方程作为约束。
• 应用归纳性分岔分析，评估在增加复杂性时解的稳定性和最优性。
• 通过修改拉格朗日乘子结构，将涡度约束纳入公式，灵感来自 Wen 等人（2015）。
• 使用数值时间推进方法演化扰动，但其收敛至全局最优解在二维中无法保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在背景方法中强制实施完整热方程作为约束，是否能改善二维 Rayleigh-Bénard 对流中 Nu 的上界？
• RQ2 在背景场中解除对称性假设，是否能获得比对称情况更紧的界？
• RQ3 通过扩展背景公式引入涡度约束，是否能将界降低至 Nu ≤ 0.055Ra^{1/2} 以下？
• RQ4 背景方法的 Ra^{1/2} 标度极限是否为根本性限制，还是可通过进一步约束打破该标度？
• RQ5 尽管采用了先进公式，为何背景方法仍无法达到实验中观测到的 Nu ∼ Ra^{1/3} 标度？

主要发现

• 当 Ra ≤ Rac ≈ 4468.8 时，对称的二维背景方法重现了 Hassanzadeh 等人（2014）的结果，但在此之后，由于最优场变得复杂，界开始上升。
• 当域长 L → ∞ 时，二维界的渐近行为趋近于一维背景场的界，证实了在一维结构主导极限中的主导作用。
• 当解除对称性后，最优二维温度背景场退化为一维分布，得出界 Nu ≤ 0.055Ra^{1/2}。
• 即使通过二维速度和温度背景场强制实施完整的时间平均 Boussinesq 方程，界仍保持在 Nu ≤ 0.055Ra^{1/2}，表明该方法已达到极限。
• 引入带有涡度约束的速度背景场——此前已证明可将界降低至 Nu ≤ O(Ra^{5/12})——但未能进一步改善界，确认了 Ra^{1/2} 标度为该方法的硬性极限。
• 由于多重稳定性（即解的存在性依赖于初始条件），数值时间推进方法在二维中无法保证收敛至最优解。