[论文解读] Existence and construction of bipotentials for graphs of multivalued laws

Marius Buliga, Géry de Saxcé+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2006

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 15被引用 30

一句话总结

本文建立了在对偶局部凸空间中，多值本构律图存在双势函数的必要且充分条件。提出凸拉格朗日覆盖作为构造双势函数的方法，将Rockafellar关于超势函数的定理推广至非关联本构律情形，并证明：若BB-图存在此类覆盖，则可通过下确界卷积构造出双势函数。

ABSTRACT

This is a first paper in convex analysis dedicated to the bipotential theory, based on an extension of Fenchel's inequality. Introduced by the second author, bipotentials lead to a succesful new treatment of the constitutive laws of some dissipative materials: frictional contact, non-associated Drucker-Prager model, or Lemaitre plastic ductile damage law. We solve here the problems of existence and construction of a bipotential for a nonsmooth mechanics constitutive law.

研究动机与目标

• 确定多值本构律存在双势函数的必要且充分条件。
• 为多值本构律图的双势函数开发一种构造性方法。
• 利用凸拉格朗日覆盖，将Rockafellar关于超势函数的定理推广至非关联、隐式本构律情形。
• 通过BB-图及其与凸拉格朗日覆盖的相容性，阐明双势函数的数学结构。

提出的方法

• 引入BB-图为一类多值本构律图，其存在双势函数当且仅当其存在凸拉格朗日覆盖。
• 将凸拉格朗日覆盖定义为覆盖BB-图且满足隐式凸性条件的最大循环单调图族。
• 通过一族凸共轭对的下确界构造双势函数：$ b(x,y) = \inf_{\lambda \in [0,\infty]} \{ \phi_\lambda(x) + \phi_\lambda^*(y) \} $。
• 以Fenchel不等式为基础，将其推广至满足 $ b(x,y) \geq \langle x,y \rangle $ 的双势函数。
• 应用双隐式凸覆盖概念，确保所得下确界卷积在两个变量上均为凸。
• 证明Cauchy双势函数自然地由此构造得出，形式为 $ b(x,y) = \|x\|\|y\| $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多值本构律存在双势函数？
• RQ2 能否为非关联本构律的双势函数建立系统化的构造方法？
• RQ3 凸拉格朗日覆盖在确保双势函数的存在性与凸性方面起何作用？
• RQ4 凸共轭对的下确界卷积如何生成凸的、双凸的双势函数？
• RQ5 BB-图存在凸拉格朗日覆盖的障碍是什么？

主要发现

• 多值本构律存在双势函数当且仅当其图是BB-图（定理3.2）。
• BB-图存在凸拉格朗日覆盖是双势函数可构造的必要且充分条件（定理6.7）。
• 所构造的双势函数为 $ b(x,y) = \inf_{\lambda \in [0,\infty]} \{ \phi_\lambda(x) + \phi_\lambda^*(y) \} $，其为凸的、双凸函数，且满足双势函数不等式。
• Cauchy双势函数 $ b(x,y) = \|x\|\|y\| $ 为此构造的特例。
• 并非所有BB-图都存在凸拉格朗日覆盖；存在障碍，如通过非辛变换与非凸化辛变换的反例所示。
• 本方法通过以凸拉格朗日覆盖替代次微分，将Rockafellar关于超势函数的定理推广至非关联本构律。