[论文解读] Existence and multiplicity for perturbations of an equation involving Hardy inequality and critical Sobolev exponent in the whole R^N

Boumediene Abdellaoui, Veronica Felli+1 more|ArXiv.org|Feb 12, 2003

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文在 $ \mathbb{R}^N$ 上建立了涉及 Hardy 项和临界 Sobolev 指数的拟线性椭圆方程正解的存在性与多重性。通过集中紧致性原理和 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类理论，证明了扰动系数 $h(x)$ 和 $k(x)$ 的形状——而不仅仅是其大小——决定了解的存在性与多重性，当 $k$ 具有无穷多个局部极大值时，可能产生无穷多组解。

ABSTRACT

In order to obtain solutions to problem $$ {{array}{c} -Δu=\dfrac{A+h(x)} {|x|^2}u+k(x)u^{2^*-1}, x\in {\mathbb R}^N, u>0 \hbox{in}{\mathbb R}^N, {and}u\in {\mathcal D}^{1,2}({\mathbb R}^N), {array}. $$ $h$ and $k$ must be chosen taking into account not only the size of some norm but the shape. Moreover, if $h(x)\equiv 0$, to reach multiplicity of solution, some hypotheses about the local behaviour of $k$ close to the points of maximum are needed.

研究动机与目标

• 分析 $ \mathbb{R}^N$ 上带 Hardy 型项和临界 Sobolev 非线性项的半线性椭圆方程正解的存在性与多重性。
• 研究系数 $h(x)$ 和 $k(x)$ 的形状——超越其 $L^\infty$ 范数——对问题可解性的影响。
• 通过引入变分法与拓扑方法，拓展先前对 Hardy-Sobolev 方程扰动问题的研究结果。
• 建立问题存在多个正解的条件，特别是当 $k(x)$ 在无穷多点处取得最大值时。
• 证明 Pohozaev 型障碍要求 $h$ 和 $k$ 的形状满足特定条件，才能保证解的存在性。

提出的方法

• 运用 P.L. Lions 的集中紧致性原理，处理 $ \mathbb{R}^N$ 中紧致性缺失的问题。
• 采用变分方法与 Nehari 流形框架，识别相关能量泛函的临界点。
• 应用 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类理论，估计当 $k(x)$ 具有无穷多个局部极大值时的临界点数量。
• 通过同伦构造形变收缩映射，将最大值集 $\mathcal{C}(k)$ 的亚纯类与解的数量关联起来。
• 在某一能量水平以下建立 Palais-Smale 条件，以确保 Palais-Smale 序列的收敛性。
• 基于 Ambrosetti-Badiale 方法的扰动技巧，并结合 Cao-Chabrowsky 与 Tarantello 的精细估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $h(x)$ 与 $k(x)$ 条件下，方程 $-\Delta u = \frac{A + h(x)}{|x|^2}u + k(x)u^{2^*-1}$ 在 $ \mathbb{R}^N$ 中存在正解？
• RQ2 $k(x)$ 的形状，特别是其局部极大值，如何影响正解的多重性？
• RQ3 Pohozaev 型恒等式在阻碍解的存在性方面起什么作用？如何通过系数的几何结构绕过该障碍？
• RQ4 $k(x)$ 最大值点集的 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类是否可用于估计解的数量？
• RQ5 在何种条件下，可保证相关泛函在某一能量水平以下满足 Palais-Smale 条件？

主要发现

• 当 $k \equiv 1$ 且 $h$ 满足适当的衰减与符号条件时，通过集中紧致性方法可证明问题至少存在一个正解。
• 当 $h \equiv 0$ 时，若 $k(x)$ 在有限个点处取得最大值，则解具有多重性，且对足够小的 $\lambda$，至少存在 $\text{Card}(\mathcal{C}(k))$ 个解。
• 若 $k(x)$ 在原点附近有限距离内具有无穷多个局部极大值，则解的数量在 $\delta$-邻域内至少为最大值集 $\mathcal{C}(k)$ 的 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类。
• 对于特定例子 $k_1(r) = \eta(r)(1 - |\sin(1/(r - 1/2))|^\theta)$，当 $\lambda$ 足够小时，方程至少存在 $m$ 个解，其中 $m \in \mathbb{N}$ 任意。
• Pohozaev 型恒等式表明，解的存在性不仅依赖于系数大小，还依赖于 $h$ 与 $k$ 的径向导数，因此形状成为关键因素。
• 通过基于精确 Sobolev 常数与非线性结构的反证法，证明所有解均具有固定符号。