[论文解读] Existence and non-existence results for a class of semilinear nonlocal operators with exterior condition

Anup Biswas|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 13被引用 3

一句话总结

本论文通过概率工具与热核估计，研究了一类带外部条件的半线性非局部算子，建立了类似于Ambrosetti-Prodi的现象。证明了存在一个临界参数ρ*，使得当ρ > ρ*时问题无解，当ρ = ρ*时至少存在一个解，当ρ < ρ*时至少存在两个解。

ABSTRACT

We consider a class of semilinear nonlocal problems with vanishing exterior condition and establish a Ambrosetti-Prodi type phenomenon when the nonlinear term satisfies certain conditions. Our technique makes use of the probabilistic tools and heat kernel estimates.

研究动机与目标

• 将Ambrosetti-Prodi现象推广至形式为Ψ(−Δ)的非局部算子，其中Ψ为Bernstein函数。
• 分析具有消失外部条件的半线性非局部问题的解的存在性与多重性。
• 建立一个临界参数ρ*的分岔型行为，用以区分解的各个区域。
• 通过概率与分析工具，将经典局部椭圆PDE结果推广至非局部算子。
• 为涉及次序布朗运动生成元的非局部问题提供统一的框架。

提出的方法

• 采用子序Lévy过程生成元Ψ(−Δ)，其中Ψ为Bernstein函数，以定义非局部算子。
• 使用改进的最大值原理与非局部问题解的边界行为估计。
• 应用[7, 9]中的热核估计，作为非局部情形下Hopf引理的替代。
• 构造上下解以界定解集并建立先验估计。
• 使用度理论与同伦不变性分析解的数量随参数ρ的变化。
• 定义解映射Sρ，并应用Leray-Schauder度的截断与同伦不变性，证明解的多重性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于形式为Ψ(−Δ)且带外部条件的非局部算子，Ambrosetti-Prodi现象是否依然成立？
• RQ2 非线性项f(x,u)与算子Ψ(−Δ)需满足何种条件，才能确保解的数量发生分岔？
• RQ3 临界参数ρ*与主特征值及非局部算子结构之间有何关系？
• RQ4 度理论方法能否适用于缺乏经典正则性或最大值原理的非局部问题？
• RQ5 热核估计与概率表示在证明存在性与多重性中起何种作用？

主要发现

• 存在一个临界参数ρ*，使得当ρ > ρ*时，非局部问题无解。
• 当ρ = ρ*时，至少存在一个解，该结论通过先验估计与半群解的稳定性建立。
• 当ρ < ρ*时，至少存在两个不同的解，该结论通过度理论与截断性质证明。
• 当ρ属于(−∞, ρ*]的紧子集时，解集在L∞(D)中一致有界，从而保证了度理论论证的紧性。
• 改进的最大值原理与边界行为估计在构造上下解中至关重要。
• 该方法成功地通过概率工具与热核估计，将经典Ambrosetti-Prodi结果推广至非局部算子。