[论文解读] Existence and regularity of positive solutions of quasilinear elliptic problems with singular semilinear term

J.V. Gonçalves, Marcos L. M. Carvalho+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文建立了涉及 $Φ$-Laplacian 算子的拟线性椭圆问题中正解的存在性与 $L^∞$-正则性。通过在 Orlicz-Sobolev 空间中结合广义 Galerkin 方法与 Moser 迭代方案，作者在权重 $a(x)$ 满足可积性条件时证明了解的存在性，并通过 $N$-函数 $Φ$ 的精确增长估计建立了解的有界性。结果将经典奇异问题推广至更广泛的非线性算子类。

ABSTRACT

This paper deals with existence and regularity of positive solutions of singular elliptic problems on a smooth bounded domain with Dirichlet boundary conditions involving the $Φ$-Laplacian operator. The proof of existence is based on a variant of the generalized Galerkin method that we developed inspired on ideas by Browder and a comparison principle. By using a kind of Moser iteration scheme we show $L^{\infty}(Ω)$-regularity for positive solutions

研究动机与目标

• 建立涉及 $Φ$-Laplacian 算子的拟线性椭圆方程中正弱解的存在性，其低阶项具有奇异性。
• 在对权重函数 $a(x)$ 的可积性假设最小化的前提下，研究此类解的正则性，特别是其在 $L^∞(\Omega)$ 中的有界性。
• 将先前仅限于 $p$-Laplacian 或 Laplacian 情况的奇异问题结果，推广至满足结构条件 $(φ_1)$--$(φ_3)$ 的 $N$-函数定义的一般算子类。
• 发展并应用一种适配于 Orlicz-Sobolev 空间的广义 Galerkin 方法新变体，以处理奇异性与非线性。
• 证明在 Orlicz 空间中具有紧致性与连续性的嵌入关系，以支持通过 Moser 迭代进行的正则性分析。

提出的方法

• 基于 Browder 方法的启发，发展了一种广义 Galerkin 方法，用于在 $W_0^{1,Φ}(\Omega)$ 的有限维子空间中构造近似解。
• 在假设 $a(x) \in L^1(\Omega)$ 且满足 $a d^{-\alpha} \in L_{\widetilde{\Phi}}(\Omega)$ 或 $0 < \alpha \leq 1$ 且 $a \in L^{\ell^*/(\ell^*+\alpha-1)}(\Omega)$ 的条件下，通过比较原理与 Orlicz-Sobolev 空间中的弱收敛论证，确立了解的存在性。
• 应用 Moser 迭代方案，推导出正解在 $L^\infty(\Omega)$ 中的上界，利用函数 $\phi$ 的结构条件 $(\phi_1)$--$(\phi_3)$。
• $\Phi$-Laplacian 算子定义为 $\Delta_\Phi u = \mathrm{div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u)$，其中 $\Phi(t) = \int_0^t s\phi(s)\,ds$，分析在 Orlicz 与 Orlicz-Sobolev 空间框架下进行。
• 使用诸如 Poincaré 型不等式 $\|u\|_\Phi \leq 2d_\Omega \|\nabla u\|_\Phi $ 等关键不等式，以在 $W_0^{1,\Phi}(\Omega)$ 中定义等价范数。
• 利用嵌入定理，包括 $W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_\Psi(\Omega)$（当 $\Psi << \Phi_*$ 时），以确保逼近过程中的收敛性与紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $a(x)$ 与 $N$-函数 $\Phi$ 的条件下，奇异拟线性问题 $-\mathrm{div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u) = a(x)/u^\alpha$ 在 $\Omega$ 中存在正弱解？
• RQ2 经典的 Moser 迭代技术能否被适配至具有奇异非线性的 $Φ$-Laplacian 算子，以证明解的 $L^\infty$-正则性？
• RQ3 为确保在 Orlicz-Sobolev 空间中解的存在性，$a(x)$ 与 $\phi$ 的最小可积性与增长条件是什么？
• RQ4 函数 $\phi$ 的结构条件 $(\phi_1)$--$(\phi_3)$ 如何影响解的正则性与有界性？
• RQ5 Orlicz 空间与 Lebesgue 空间之间的嵌入关系在多大程度上支持 Galerkin 近似中所需的紧致性与收敛性？

主要发现

• 在 $a \in L^1(\Omega)$ 且满足 $a d^{-\alpha} \in L_{\widetilde{\Phi}}(\Omega)$ 或 $0 < \alpha \leq 1$ 且 $a \in L^{\ell^*/(\ell^*+\alpha-1)}(\Omega)$ 的条件下，存在正解 $u \in W_0^{1,\Phi}(\Omega)$，使得 $u^{(\alpha-1+\ell)/\ell} \in W_0^{1,\ell}(\Omega)$ 且 a.e. in $\Omega$ 有 $u \geq C d(x)$，其中 $C > 0$。
• 解 $u$ 属于 $W^{1,\Phi}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$，确保其在局部具有更高的可积性与可微性。
• 解 $u$ 在 $L^\infty(\Omega)$ 中有界，其上界通过利用 $(\phi_1)$--$(\phi_3)$ 增长条件的 Moser 迭代方案导出。
• 在 $\Phi$ 满足 $\Delta_2$-条件的假设下，建立了 $L^\infty$-正则性，该条件确保了 Orlicz 空间中必要的紧致性与收敛性。
• 嵌入关系 $W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_\Phi(\Omega)$ 是紧致的，且 $W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_{\Phi_*}(\Omega)$ 是连续的，这对 Galerkin 近似收敛性至关重要。
• 结果将已知的 $p$-Laplacian 与 $p(x)$-Laplacian 奇异问题的存在性与正则性结果推广至更广泛的 $Φ$-Laplacian 算子类，包括 $-\Delta_p u - \Delta_q u = a(x)/u^\alpha$ 与 $-\mathrm{div}(a(|\nabla u|^p)|u|^{p-2}\nabla u) = a(x)/u^\alpha$ 等情形。