[论文解读] Existence and stability of kayaking orbits for nematic liquid crystals in simple shear flow

D. R. J. Chillingworth, M. Gregory Forest+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2021

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 96被引用 2

一句话总结

本文通过等变动力系统理论，严格证明了在稳态剪切流作用下，向列液晶中存在kayaking周期轨道及其渐近稳定性。通过将速度梯度的对称部分视为小扰动，作者采用二阶Lyapunov-Schmidt约化方法，证明了中性稳定的kayaking轨道通过从SO(3)旋转群出发的对称性破缺分岔而出现，从而以严格的几何分析解决了液晶动力学领域长期存在的开放性问题。

ABSTRACT

We use geometric methods of equivariant dynamical systems to address a long-standing open problem in the theory of nematic liquid crystals, namely a proof of the existence and asymptotic stability of kayaking periodic orbits for which the principal axis of orientation of the molecular field (the director) rotates around the vorticity axis in response to steady shear flow. With a small parameter attached to the symmetric part of the velocity gradient, the problem can be viewed as a symmetry-breaking bifurcation from an orbit of the rotation group~$\SO(3)$ that contains both logrolling (equilibrium) and tumbling (periodic rotation of the director within the plane of shear) regimes as well as a continuum of kayaking orbits. The results turn out to require expansion to second order in the perturbation parameter.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放性问题：在稳态剪切流作用下，严格证明向列液晶中kayaking周期轨道的存在性与稳定性。
• 分析Q-张量模型作为从SO(3)对称性破缺分岔的动力学行为。
• 通过二阶扰动分析，建立kayaking轨道的存在性与渐近稳定性的严格证明。
• 为无限维系统提供一个适用于有限维约化的几何与分析框架。

提出的方法

• 将向列液晶动力学建模为Q-张量模型，并引入一个用于速度梯度对称部分的小扰动参数。
• 利用系统的SO(3)-等变性，分析从旋转群出发的分岔行为，包括logrolling与翻滚区域。
• 应用至二阶的Lyapunov-Schmidt约化技术，将无限维问题约化为有限维的分岔函数。
• 采用Poincaré映射技术研究约化系统中周期轨道及其稳定性。
• 显式计算至二阶的分岔函数，整合扰动中线性与二次项的贡献。
• 利用不变理论与旋转生成元的特征空间分解，推导出分岔函数系数的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稳态剪切流作用下，是否存在稳定的周期轨道，使得向列液晶的取向矢量离开剪切平面并绕涡度轴旋转？
• RQ2 能否通过几何与分岔理论方法，严格证明kayaking轨道的存在性与稳定性？
• RQ3 速度梯度对称部分的二阶扰动如何影响kayaking轨道从SO(3)对称群中出现？
• RQ4 Q-张量演化方程的系数在决定所得周期轨道稳定性方面起何种作用？
• RQ5 Lyapunov-Schmidt约化方法能否成功拓展至二阶，以完整捕捉对称性破缺分岔的动力学行为？

主要发现

• 本文证明了在剪切流作用下，Q-张量模型中存在一个单参数族的中性稳定kayaking周期轨道，其从SO(3)对称群分岔产生。
• 通过二阶Lyapunov-Schmidt约化，建立了kayaking轨道的渐近稳定性，表明分岔函数在原点处具有单零点。
• 扰动展开中的二阶项至关重要；仅依靠一阶分析不足以捕捉轨道的存在性。
• 分岔函数的系数以Q-张量不变量及剪切速率的形式显式计算得出，其贡献来自v1*, v2*, v4* 与 w3。
• 分析表明，仅线性化算子的Ll(Q)分量对分岔函数的二阶项有贡献，从而简化了稳定性分析。
• 推导出的分岔函数系数Λ0与Λ2的表达式表明，当参数满足由二阶项导出的特定不等式时，稳定周期解存在。