[论文解读] Existence and uniqueness of solutions of stochastic functional differential equations

Max‐K. von Renesse, Michael Scheutzow|ArXiv.org|Dec 9, 2008

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文在漂移和扩散系数满足弱单调性（单边Lipschitz）条件下，建立了具有有界记忆的随机泛函微分方程强解的存在性与唯一性。通过一种新型的Euler-Murayama格式变体，作者证明了即使系数非Lipschitz，仍可实现局部存在性与唯一性，并表明该方法可捕捉到爆炸时间前的最大解，且在弱增长条件下可防止爆炸。

ABSTRACT

We provide sufficient conditions on the coefficients of a stochastic functional differential equation with bounded memory driven by Brownian motion which guarantee existence and uniqueness of a maximal local and global strong solution for each initial condition. Our results extend those of previous works. For local existence and uniqueness, we only require the coefficients to be continuous and to satisfy a one-sided local Lipschitz (or monotonicity) condition. In an appendix we formulate and prove four lemmas which may be of independent interest: three of them can be viewed as rather general stochastic versions of Gronwall's Lemma, the final one - which we call Dereich-Lemma - provides tail bounds for Hoelder norms of stochastic integrals.

研究动机与目标

• 通过在弱单调性条件下证明存在性与唯一性，填补随机泛函微分方程文献中的系统性空白。
• 将经典非延迟SDE中的单边Lipschitz条件推广至具有有界记忆的延迟方程。
• 开发一种即使在有限时间爆炸情况下也能提供强逼近的数值格式。
• 识别出一种弱增长条件，以确保全局存在性并防止爆炸。
• 提供具有独立兴趣的一般性工具：随机Gronwall引理与Hölder范数尾部界。

提出的方法

• 针对具有有界记忆的随机泛函微分方程，构造了一种改进的Euler-Murayama格式，利用路径相关系数的离散时间逼近。
• 在弱单调性条件（M）下分析该格式，该条件将经典单边Lipschitz条件推广至无穷维路径空间C([-r,0]; R^d)。
• 在附录中推导了随机Gronwall引理，以克服由于弱C^0-范数依赖导致的标准Burkholder-Davis-Gundy与Gronwall论证失效的问题。
• 利用高斯等周不等式与时间改变的布朗运动表示，推导了随机积分Hölder范数的尾部界。
• 证明该方法在爆炸时间前强收敛于最大解，从而实现爆炸时间的数值恢复。
• 引入弱增长条件（C）以确保全局存在性，其作用类似于耗散系统中的强制性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅对系数施加单边Lipschitz（单调性）条件而无需完整Lipschitz连续性的情况下，能否为具有有界记忆的随机泛函微分方程建立强解的局部存在性与唯一性？
• RQ2 当解在有限时间内爆炸时，Euler-Murayama格式是否仍能提供解的强逼近？
• RQ3 能否在路径相关、无穷维的设定下形式化并证明随机Gronwall引理，以在弱正则性条件下控制解的增长？
• RQ4 对系数的何种弱增长条件可确保此类方程的全局存在性并防止爆炸？
• RQ5 在泛函SDE的背景下，是否存在随机积分Hölder范数的一般尾部界？

主要发现

• 在弱单调性条件（M）下建立了强解的局部存在性与唯一性，该条件仅要求漂移与扩散系数在路径空间的紧子集上满足单边Lipschitz条件。
• 所提出的Euler-Murayama格式可实现解的强逼近；在发生爆炸的情况下，其收敛于爆炸时间前的最大解。
• 识别出一个弱增长条件（C），可确保解的全局存在性，即使在系数非Lipschitz时也能防止爆炸。
• 作者证明了四个具有独立兴趣的引理：两个随机Gronwall引理，以及两个关于随机积分Hölder范数尾部界的结论。
• 随机Gronwall引理可在漂移与扩散项的弱可积性假设下，控制非负局部鞅的上确界p阶矩。
• Hölder范数尾部界引理为随机积分的Hölder半范数提供了指数型尾部估计，这对于处理路径空间中缺乏光滑性的问题至关重要。