[论文解读] Existence of localised normal modes in nonlinear lattices

D. Hennig|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Nonlinear Photonic Systems被引用 25

一句话总结

本文证明了一维非线性克莱因-戈登格点系统中存在时间周期性、空间局域化的解——类似于正常模态的解。对于具有软或硬势能的系统，利用常微分方程的比较原理，证明了每个格点处振幅被两个辅助线性方程的解所界定，从而表明在相位一致（软）或反相位（硬）情况下，存在频率略低于（高于）线性声子频带边界的局域化脉动解。

ABSTRACT

We prove the existence of exponentially localised and time-periodic solutions in general nonlinear Hamiltonian lattice systems. Like normal modes, these localised solutions are characterised by collective oscillations at the lattice sites with a uniform time-dependence. The proof of existence uses the comparison principle for differential equations to demonstrate that at each lattice site every half of the fundamental period of oscillations, contributing to localised solutions of the nonlinear lattice, is sandwiched between two oscillatory states of auxiliary linear equations. For soft (hard) on-site potentials the allowed frequencies of the in-phase (out-of-phase) localised periodic solutions lie below (above) the lower (upper) value of the linear spectrum of phonon frequencies. By varying a control parameter the exponential decay of the localised states can be tuned continuously.

研究动机与目标

• 建立一般非线性哈密顿克莱因-戈登格点系统中空间局域化、时间周期性解的存在性。
• 分析这些解（类似于正常模态）在接近线性声子谱边缘时表现出均匀时间依赖振荡的条件。
• 区分软势能与硬势能中解的行为，特别是其频率相对于声子频带的局域化特性。
• 通过数值分析局域化脉动解的轮廓，验证均匀时间依赖近似的有效性。

提出的方法

• 应用常微分方程的比较原理，将每个格点处振幅的上下界限定在两个辅助线性方程的解之间。
• 利用非线性克莱因-戈登格点的哈密顿结构，假设势能为解析、对称的，且满足 $ U(0) = U'(0) = 0 $，$ U''(0) > 0 $。
• 根据拐点和曲率特性，将势能分类为软（振幅增大时频率降低）或硬（振幅增大时频率升高）。
• 推导出基本脉动频率 $ \omega_b $ 避免与线性声子频率发生共振的条件，即对所有整数 $ m $，有 $ m\omega_b \neq \omega_{ph} $。
• 通过计算精确解与近似解之间在 $ L^\infty $ 和 $ L^2 $ 范数下的相对误差系数 $ N_\infty $ 和 $ N_2 $，数值评估均匀时间依赖近似的准确性。
• 对 sine-Gordon 和 $ \phi^4 $ 势能进行数值模拟，比较脉动解的轮廓，验证在反连续极限和声子频带边缘附近近似的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有软或硬势能的一般非线性克莱因-戈登格点系统中，是否存在时间周期性、空间局域化的解？
• RQ2 在何种条件下，这些局域化解在格点间表现出近乎均匀的时间依赖振荡？
• RQ3 在软势能和硬势能中，同相位与反相位脉动解的频率如何与线性声子谱的边缘相关？
• RQ4 对于靠近声子频带边缘的脉动解，均匀时间依赖近似的有效性程度如何？
• RQ5 有效性系数 $ N_\infty $ 和 $ N_2 $ 如何随耦合强度 $ \kappa $ 和脉动频率 $ \omega_b $ 变化？

主要发现

• 利用常微分方程的比较原理，严格证明了非线性KG格点中存在空间局域化、时间周期性解。
• 对于软势能，相位一致的局域化解存在，其频率略低于线性声子频带的下边缘；对于硬势能，反相位解存在，其频率略高于上边缘。
• 数值分析表明，频率接近声子频带边缘的脉动解表现出（几乎）均匀的时间依赖性，验证了存在性证明中所用近似的合理性。
• 有效性系数 $ N_\infty $ 和 $ N_2 $ 在反连续极限（$ \kappa = 0 $）时最小，并随着 $ \omega_b $ 接近声子频带边缘而减小。
• 对于sine-Gordon势能，$ N_\infty $ 和 $ N_2 $ 在中等耦合强度处出现相对最大值；而对于 $ \phi^4 $ 势能，它们随 $ \kappa $ 增大而单调递减，在频带边缘处达到零。
• 在极端情况下（如 $ \omega_b = 0.99 $，$ \kappa = 1.95 $），近似误差低至 $ N_\infty = 0.0017 $，表明精确解与近似解之间具有极佳的一致性。