[论文解读] Existence of multiple solutions of $p$-fractional Laplace operator with sign-changing weight function

Sarika Goyal, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文利用变分法与Nehari流形分析，研究带符号改变权函数的 $p$-分数阶拉普拉斯方程非负解的存在性与多重性。在 $p$-次线性情形（$1<\beta<p$）下，证明了当 $\lambda < \lambda_1$ 时至少存在一个非负解；并证明当 $\lambda$ 较大时，能量泛函在Nehari流形上无下界，表明在特定条件下存在多个解。

ABSTRACT

In this article, we study the following $p$-fractional Laplacian equation \begin{equation*} (P_{\la}) \left\{ \begin{array}{lr} - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dy = \la |u(x)|^{p-2}u(x) + b(x)|u(x)|^{\ba-2}u(x)\; ext{in}\; \Om \quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n).\\ \end{array} \quad ight. \end{equation*} where $\Om$ is a bounded domain in $\mb R^n$ with smooth boundary, $n&gt; p\al$, $p\geq 2$, $\al\in(0,1)$, $\la&gt;0$ and $b:\Om\subset\mb R^n a \mb R$ is a sign-changing continuous function. We show the existence and multiplicity of non-negative solutions of $(P_{\la})$ with respect to the parameter $\la$, which changes according to whether $1

研究动机与目标

• 建立带符号改变权函数 $b(x)$ 的 $p$-分数阶拉普拉斯方程非负弱解的存在性。
• 分析参数 $\lambda$ 与指数 $\beta$ 相对于 $p$ 及临界Sobolev指数 $p^*$ 时解的多重性。
• 研究当 $\lambda \to \lambda_1^-$ 时解的渐近行为，其中 $\lambda_1$ 为第一特征值。
• 确定能量泛函 $J_\lambda$ 在Nehari流形上无下界时的条件，表明可能存在多重解。
• 提供非存在性结果，并通过纤维化映射分析刻画Nehari流形的结构。

提出的方法

• 采用Nehari流形方法，根据纤维化映射导数的符号对能量泛函 $J_\lambda$ 的临界点进行分类。
• 应用纤维化映射分析，基于 $J_\lambda(tu)$ 的二阶导数，将Nehari流形分解为子集 $\mathcal{N}_\lambda^+$, $\mathcal{N}_\lambda^0$, 和 $\mathcal{N}_\lambda^-$。
• 以具有在 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 上零迹的分数阶Sobolev空间 $X_0 = W^{\alpha,p}_0(\Omega)$ 作为基础函数空间。
• 使用通过奇异核 $K(x) = |x|^{-(n+p\alpha)}$ 定义的非局部算子 $\mathcal{L}_K$，其对应于 $p$-分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha_p$。
• 应用变分技术，包括 $J_\lambda$ 的Fr\'echet可微性，将弱解识别为能量泛函的临界点。
• 采用比较论证与扰动技术（例如添加小量 $\epsilon h$）分析 $J_\lambda$ 在Nehari集边界附近的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带符号改变权 $b(x)$ 的 $p$-分数阶拉普拉斯方程至少存在一个非负弱解？
• RQ2 参数 $\lambda$ 如何影响解的存在性与多重性，特别是在次线性（$1<\beta<p$）与超线性（$p<\beta<p^*$）情形下？
• RQ3 当 $\lambda \to \lambda_1^-$ 时，能量泛函 $J_\lambda$ 在Nehari流形 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 上的下确界如何变化？这对其多重性有何含义？
• RQ4 在何种条件下，能量泛函 $J_\lambda$ 在 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上无下界？这对其多重解存在性有何含义？
• RQ5 第一特征函数 $\phi_1$ 在决定 $J_\lambda$ 在 $\lambda_1$ 附近的行为中起何种作用？

主要发现

• 对每个 $\lambda < \lambda_1$，问题 $(P_\lambda)$ 在 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上存在至少一个最小化 $J_\lambda$ 的非负解。
• 若 $\int_\Omega b(x)\phi_1^\beta dx > 0$，则 $\lim_{\lambda \to \lambda_1^-} \inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^+} J_\lambda(u) = -\infty$，表明下确界发生“下拉”现象。
• 当 $\lambda > \lambda_1$ 时，若 $\int_\Omega b(x)\phi_1^\beta dx > 0$，则 $\inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^-} J_\lambda(u) = 0$ 成立，该结论通过扰动与归一化论证得以证明。
• 存在 $\tilde{\lambda}$，使得对所有 $\lambda > \tilde{\lambda}$，有 $\inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^-} J_\lambda(u) = 0$，即使不假设对 $\phi_1$ 的积分为正也成立。
• 当 $\lambda$ 足够大时，能量泛函 $J_\lambda$ 在 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上无下界，表明存在多个解。
• 存在 $\hat{\lambda}$，使得对所有 $\lambda > \hat{\lambda}$，$J_\lambda$ 在 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上无下界，从而确认在大 $\lambda$ 范畴下存在多重解。