[论文解读] Existence of positive solutions for nonlinear Kirchhoff type problems in R^3 with critical Sobolev exponent and sign-changing nonlinearities

Gongbao Li, Ye Hongyu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^3$ 中建立了具有临界Sobolev增长（$u^5$）和变号非线性项的非线性Kirchhoff型方程正解的存在性。通过变分方法和集中紧致性论证，作者在非线性项 $f(x,u)$ 满足适当条件时，证明了正基态解的存在性，扩展了先前关于次临界问题的结果。

ABSTRACT

In this paper, we study the following nonlinear problem of Kirchhoff type with critical Sobolev exponent: -\left(a+b\ds\int_{\R^3}|D u|^2 ight)Δu+u=f(x,u)+u^{5}, u\in H^1(\R^3), u>0, $x\in \R^3$ where a,b>0 are constants. Under certain assumptions on the sign-changing function $f(x,u)$, we prove the existence of positive solutions by variational methods. Our main results can be viewed as a partial extension of a recent result of He and Zou in [17] concerning the existence of positive solutions to the nonlinear Kirchhoff problem \left(\varepsilon^2a+\varepsilon b\ds\int_{\R^3}|D u|^2 ight)Δu+V(x)u=f(u), u\in H^1(\R^3), u>0, $x\in \R^3$, where $\varepsilon>0$ is a parameter, $V(x)$ is a positive continuous potential and $f(u) hicksim |u|^{p-2}u$ with $4

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中建立具有临界Sobolev指数（$u^5$）和变号非线性项的Kirchhoff型方程正解的存在性。
• 通过引入临界增长和变号权函数，扩展先前关于次临界Kirchhoff问题的结果。
• 在非线性项 $f(x,u)$ 的弱假设下分析问题的变分结构，包括对增长性和Ambrosetti-Rabinowitz型不等式的条件。
• 在临界指数问题的背景下，利用山路定理和 $(PS)_c$ 条件证明基态解的存在性。
• 通过强最大值原理证明基态解严格为正。

提出的方法

• 将问题表述为能量泛函 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 + \frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb{R}^3}|Du|^2\right)^2 - \int_{\mathbb{R}^3} F(u) - \frac{1}{6}\int_{\mathbb{R}^3} (u^+)^6$ 的临界点问题。
• 在 $f(t)$ 满足条件 $(f_1)$--$(f_4)$ 的前提下，应用山路定理寻找泛函 $I$ 的 $(PS)_c$ 序列。
• 通过能量估计排除集中和二分现象，利用集中紧致性论证证明 $(PS)_c$ 条件。
• 利用平移不变性和弱收敛性，从平移序列 $v_n = u_n(\cdot + y_n)$ 中提取出非平凡弱极限 $v$，该极限是 $I$ 的临界点。
• 通过 $L^6$ 中的收敛性及 $f$ 的性质，证明弱极限 $v$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛。
• 通过在非平凡临界点集合上最小化能量泛函，并应用强最大值原理，构造出正基态解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在变号非线性项 $f(x,u)$ 满足何种条件时，$\mathbb{R}^3$ 中具有临界增长的Kirchhoff型方程存在正解？
• RQ2 对于具有临界非线性项 $u^5$ 和变号权函数的Kirchhoff方程，能否建立基态解的存在性？
• RQ3 在临界增长和非局部项存在的情况下，相关能量泛函的 $(PS)_c$ 条件是否成立？
• RQ4 变号权函数 $f_\lambda(x)$ 的存在如何影响解的存在性和正性？
• RQ5 能否通过最大值原理论证证明基态解严格为正？

主要发现

• 本文证明了在 $\mathbb{R}^3$ 中具有临界Sobolev指数 $u^5$ 和变号非线性项 $f(x,u)$ 的Kirchhoff型方程存在正基态解。
• 在条件 $(f_1)$--$(f_4)$ 下，能量泛函的 $(PS)_c$ 序列在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛，从而保证了非平凡临界点的存在性。
• 山路解的能量水平 $c$ 满足 $0 < c < c^*$，其中 $c^*$ 是能量泛函在非平凡解上的下确界。
• 由于强最大值原理，基态解在 $\mathbb{R}^3$ 中严格为正，这源于 $\langle I'(u), u^- angle = 0$ 推出 $u^- = 0$。
• 对于含参数 $\lambda$ 的情形，能量水平 $c_\lambda$ 满足 $c_\lambda \geq -C_0 \lambda^{\frac{4}{4-p}} + c^*$，若发生集中则导致矛盾，从而保证紧致性。
• 本结果通过允许变号非线性项和三维空间中的临界增长，扩展了He和Zou的先前工作。