[论文解读] Existence of quotients by finite groups and coarse moduli spaces

David Rydh|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 16

一句话总结

本文证明了具有有限自同态的代数堆栈的粗模空间的存在性，并利用一般代数几何技巧（不依赖诺特性假设）证明了具有准有限对角线的堆栈存在局部准有限平坦覆盖。关键贡献是将基尔与莫里关于有限群作用商的结论广泛推广至任意具有有限稳定子的代数堆栈与代数空间。

ABSTRACT

Abstract. In this paper we prove the existence of several quotients in a very general setting. We consider finite group actions and more generally groupoid actions with finite stabilizers generalizing the results of Keel and Mori. In particular we show that any algebraic stack with finite inertia stack has a coarse moduli space. We also show that any algebraic stack with quasi-finite diagonal has a locally quasi-finite flat cover. The proofs do not use noetherian methods and are valid for general algebraic spaces and algebraic stacks.

研究动机与目标

• 将有限群作用商的存在性推广至更广泛的代数堆栈与代数空间类别。
• 证明具有有限自同态的代数堆栈存在粗模空间。
• 证明具有准有限对角线的代数堆栈存在局部准有限平坦覆盖。
• 将基尔与莫里的结果从诺特性设定扩展至一般代数空间与堆栈。
• 建立一个避免依赖诺特性假设的商构造框架。

提出的方法

• 利用具有有限稳定子的群胚作用，推广有限群在代数空间上的作用。
• 应用不依赖诺特性假设的代数几何技术。
• 借助自同态堆栈的结构推导商的性质。
• 通过具有有限自同态的堆栈的普遍性质构造粗模空间。
• 利用准有限对角线条件证明局部准有限平坦覆盖的存在性。
• 在代数堆栈与代数空间的背景下运用下降与可表示性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，代数堆栈会存在粗模空间？
• RQ2 有限群作用的商的存在性是否可超越诺特性情形？
• RQ3 何种条件可确保代数堆栈存在局部准有限平坦覆盖？
• RQ4 有限稳定子与准有限对角线如何与模空间的存在性相关联？
• RQ5 基尔与莫里关于商的结论在非诺特性设定下可被推广到何种程度？

主要发现

• 任何具有有限自同态堆栈的代数堆栈均存在粗模空间。
• 任何具有准有限对角线的代数堆栈均存在局部准有限平坦覆盖。
• 结果适用于一般代数空间与代数堆栈，无需诺特性假设。
• 商的构造将经典基尔与莫里结果推广至更广泛的几何设定。
• 所用方法本质上属于代数几何，不依赖于有限性或诺特性条件。
• 在堆栈自同态的最小结构假设下，确立了粗模空间的存在性。