[论文解读] Existence, Uniqueness and Homogenization of Nonlinear Parabolic Problems with Dynamical Boundary Conditions in Perforated Media

María Anguiano|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用 21

一句话总结

本文证明了在周期性穿孔域中，带有动力边界条件的非线性抛物方程解的存在性与唯一性。通过均值化技术，推导出在均匀域上的极限问题，表明有效方程中包含了来自边界动力学的附加项，且利用两尺度收敛与能量方法证明了收敛性。

ABSTRACT

We consider a nonlinear parabolic problem with nonlinear dynamical boundary conditions of pure-reactive type in a media perforated by periodically distributed holes of size 
 . The novelty of our work is to consider a nonlinear model where the nonlinearity also appears in the boundary. The existence and uniqueness of solution is analyzed. Moreover, passing to the limit when 
 goes to zero, a new nonlinear parabolic problem defined on a unified domain without holes with zero Dirichlet boundary condition and with extra terms coming from the influence of the nonlinear dynamical boundary conditions is rigorously derived.

研究动机与目标

• 分析在周期性穿孔域中带有动力边界条件的非线性抛物问题解的存在性与唯一性。
• 研究当孔洞尺寸 ε → 0 时解的渐近行为。
• 在无孔洞的情况下，严格推导出均值化极限问题，考虑动力边界条件的影响。
• 将均值化理论扩展至具有边界非线性的非线性抛物系统，填补现有文献中的空白。

提出的方法

• 在有界域 Ω 的周期性孔洞表面，建立带有动力边界条件的非线性抛物问题。
• 应用能量法与两尺度收敛方法，分析当孔洞尺寸 ε → 0 时的极限行为。
• 利用加权迹估计与紧致性论证，将弱形式中的极限过程传递下去。
• 通过识别通量与边界项的极限，推导出均值化方程，其中包含孔洞的体积分数 |Y*|/|Y| 与表面积 |∂F|/|Y|。
• 通过一致先验估计，证明解序列 uε 在 L²(0,T;H¹₀(Ω)) 与 Lp(0,T;Lp(Ω)) 中弱收敛于极限 u，其中 p 满足给定的增长条件。
• 通过求解细胞问题，确定有效扩散张量 Q，从而在极限方程中以修改后的系数替代原始的拉普拉斯算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当周期性孔洞尺寸 ε → 0 时，带有动力边界条件的非线性抛物PDE的解的渐近行为是什么？
• RQ2 孔洞上的动力边界条件如何影响系统在均值化极限下的宏观行为？
• RQ3 对于同时存在于介质内部与边界上的非线性项，是否可以严格推导出均值化问题，而不仅限于线性或随机情形？
• RQ4 有效方程的结构如何？孔洞的体积与表面积贡献如何在极限中体现？
• RQ5 在何种条件下，解序列 uε 在适当的函数空间中强收敛于极限 u？

主要发现

• 在 f、g 及数据的给定假设下，原问题的解 uε 存在且唯一。
• 当 ε → 0 时，解 uε 在 L²(0,T;H¹₀(Ω)) 与 Lp(0,T;Lp(Ω)) 中弱收敛于极限 u，其中 p 满足所列增长条件。
• 均值化问题是在原域 Ω 上的非线性抛物方程，具有零狄利克雷边界条件，且有效时间导数系数为 (|Y*| + |∂F|)/|Y|。
• 均值化方程中包含附加项：在体内为 |Y*|/|Y| f(u)，在边界上为 |∂F|/|Y| g(u)，这些项源于动力边界条件。
• 有效扩散张量 Q 通过求解细胞问题获得，并在极限方程中取代原始的拉普拉斯算子。
• 通过两尺度收敛与紧致性方法建立了收敛性，极限满足包含有效系数的弱形式。