[论文解读] Experimental Constructions of Binary Matrices with Good Peak-Sidelobe Distances

Jerod Michel|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文提出了一种确定性构造方法，用于生成具有高主瓣旁瓣距离的非周期自相关二元矩阵，该方法利用循环矩阵中的差集和几乎差集。通过在最优内部循环矩阵的四周添加全1边界，该方法可生成小尺寸下近似最优的矩阵，其主瓣旁瓣距离接近理论界限，并给出了此类矩阵的无限族的显式构造。

ABSTRACT

Skirlo et al., in 'Binary matrices of optimal autocorrelations as alignment marks' [Journal of Vacuum Science and Technology Series B 33(2) (2015) 1-7], defined a new class of binary matrices by maximizing the peak-sidelobe distances in the aperiodic autocorrelations and, by exhaustive computer searches, found the optimal square matrices of dimension up to 7 x 7, and optimal diagonally symmetric matrices of dimensions 8 x 8 and 9 x 9. We make an initial investigation into and propose a strategy for (deterministically) constructing binary matrices with good peak-sidelobe distances. We construct several classes of these and compare their distances to those of the optimal matrices found by Skirlo et al. Our constructions produce matrices that are near optimal for small dimension. Furthermore, we formulate a tight upper bound on the peak-sidelobe distance of a cer- tain class of circulant matrices. Interestingly, binary matrices corresponding to certain difference sets and almost difference sets have peak-sidelobe distances meeting this upper bound.

研究动机与目标

• 开发一种确定性方法，用于构造具有优良非周期自相关特性的二元矩阵，特别是高主瓣旁瓣距离。
• 克服Skirlo等人依赖穷举计算机搜索以寻找最优矩阵的局限性。
• 建立组合设计（特别是差集和几乎差集）与最优二元矩阵构造之间的联系。
• 为一类循环矩阵的主瓣旁瓣距离制定紧致的上界。
• 证明由差集和几乎差集导出的矩阵可达到该上界，表明其近乎最优。

提出的方法

• 使用差集或几乎差集作为定义集，构造一个 (M−2)×(M−2) 的循环二元矩阵，使其具有高的主瓣旁瓣距离。
• 通过在四个边缘添加全1边界，将内部矩阵扩展为 M×M 矩阵。
• 利用定理确保所得到的矩阵通过保持内部矩阵的结构特性，维持高的主瓣旁瓣距离。
• 应用二次剩余类和代数数论，分析并基于差集与几乎差集的定义集构造矩阵。
• 推导出其定义集为差集或几乎差集的循环矩阵的主瓣旁瓣距离的紧致上界。
• 通过显式示例验证构造方法，并列出 7 到 19 阶矩阵的主瓣旁瓣距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以确定性方法构造出具有高主瓣旁瓣距离的二元矩阵，而非依赖穷举搜索？
• RQ2 对于由差集或几乎差集定义的循环二元矩阵，主瓣旁瓣距离的最紧可能上界是什么？
• RQ3 由差集和几乎差集导出的矩阵是否达到该理论上的上界？
• RQ4 确定性构造方法能多接近Skirlo等人通过穷举搜索获得的最优主瓣旁瓣距离？
• RQ5 能否系统地参数化此类矩阵的无限族，并解析计算其主瓣旁瓣距离？

主要发现

• 本文构造了无限族的方阵二元矩阵，其主瓣旁瓣距离非常接近Skirlo等人针对小尺寸报告的最优值。
• 对于 9×9 矩阵，构造的矩阵达到主瓣旁瓣距离 28，而最优值为 29，表明其近乎最优。
• 该方法生成的矩阵主瓣旁瓣距离分别为：7×7 为 18，13×13 为 52，14×14 为 56，15×15 为 62，17×17 为 84，19×19 为 96，均接近最优。
• 理论分析表明，由 Paley-Hadamard 类型的 (v, (v+1)/2, (v+1)/4)-差集导出的二元矩阵可达到所推导的主瓣旁瓣距离上界。
• 使用素数 p≡1(mod 4) 的 (p, (p+1)/2, (p−1)/4, (p−1)/2)-几乎差集构造的矩阵，其主瓣旁瓣距离为 (p+1)(⌊p²/(4(p−1))⌋+1)+5。
• 本文为由差集和几乎差集定义的循环矩阵建立了主瓣旁瓣距离的紧致上界，并表明某些矩阵恰好达到该上界。