[论文解读] Explicit formulae for rank zero DT invariants and the OSV conjecture

Soheyla Feyzbakhsh|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文通过两种壁穿刺技术，为满足 Bogomolov-Gieseker 猜想的卡拉比-丘 3-fold 上的秩零唐纳森-托马斯不变量建立了显式公式：一种基于特定类的弱稳定性条件，另一种通过非平凡映射 $\bar{\mathcal{O}}_X(-n)$，从而以秩一 DT 不变量和 Pandharipande-Thomas 不变量表示通用表达式。本文证明了任意 Picard 秩下 Toda 的 OSV 猜想的修正版本，并给出了秩二不变量的递归公式。

ABSTRACT

Fix a Calabi-Yau 3-fold $X$ satisfying the Bogomolov-Gieseker conjecture of Bayer-Macrì-Toda, such as the quintic 3-fold. By two different wall-crossing arguments we prove two different explicit formulae relating rank 0 Donaldson-Thomas invariants (counting torsion sheaves on $X$ supported on ample divisors) in terms of rank 1 Donaldson-Thomas invariants (counting ideal sheaves of curves) and Pandharipande-Thomas invariants. In particular, we prove a slight modification of Toda's formulation of OSV conjecture for $X$. When $X$ is of Picard rank one, we also give an explicit formula for rank two DT invariants in terms of rank zero and rank one DT invariants.

研究动机与目标

• 推导出卡拉比-丘 3- fold 上关于极化除数上扭 sheaf 计数的秩零唐纳森-托马斯不变量的显式公式。
• 将 Toda 的 OSV 猜想公式化推广至 Picard 秩大于一的情形。
• 通过稳定性条件中的壁穿刺，建立秩零不变量与秩一 DT 不变量及 Pandharipande-Thomas 不变量之间的联系。
• 将框架扩展至通过秩零与秩一不变量递归计算秩二 DT 不变量。

提出的方法

• 在秩零类 $\mathsf{v} = (0,D,\beta,m)$ 的弱稳定性条件空间中应用壁穿刺，导出涉及秩一 DT 与 PT 不变量的公式。
• 引入一种通用的壁穿刺方法，利用映射 $s: \mathcal{O}_X(-n) \to F$（$n \gg 0$），使得 $\mathsf{J}(\mathsf{v})$ 可表示为包含 PT 不变量的生成函数。
• 定义生成函数 $\operatorname{PT}^{\mathsf{v},n}(x,y,z)$，以陈示性类和稳定性参数为基础，编码加权单项式。
• 利用 Joyce-Song 壁穿刺公式关联不同稳定性域中的不变量，尤其关注大体积极限附近及 Joyce-Song 壁 $\ell_{\mathrm{JS}}$。
• 在 tilt-稳定性与 Gieseker-稳定性之间应用递归壁穿刺论证，将秩二不变量表示为秩一与秩零不变量的组合。
• 利用集合 $M(\mathsf{v})$ 与 $M_{\mathsf{v},n}$ 参数化求和中的相关类，确保与陈示性类约束的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意卡拉比-丘 3- fold（超越 Picard 秩一情形）推导出秩零 DT 不变量的显式公式？
• RQ2 通过壁穿刺，秩零 DT 不变量如何与秩一 DT 不变量及 Pandharipande-Thomas 不变量关联？
• RQ3 Toda 的数学形式化 OSV 猜想是否对任意 Picard 秩的卡拉比-丘 3- fold 成立？
• RQ4 能否通过壁穿刺，以秩零与秩一不变量的通用形式表达秩二 DT 不变量？
• RQ5 生成函数 $A(\mathsf{v}_n, \mu)$ 的精确结构为何，使其能通过系数提取捕捉 $\mathsf{J}(\mathsf{v})$？

主要发现

• 对于秩零类 $\mathsf{v} = (0,D,\beta,m)$ 且满足 $Q(\mathsf{v}) < 0$ 的情形，不存在斜率半稳定的层，因此 $\mathsf{J}(\mathsf{v}) = 0$。
• 当不等式 $ (H^3)^2 Q(\mathsf{v}) < D.H^2 + \frac{2}{D.H^2} - \frac{5}{2} - \frac{2}{(D.H^2)^2} $ 成立时，$\mathsf{J}(\mathsf{v})$ 由一对秩一类的和给出，包含特定符号与欧拉示性数修正项。
• 公式中 $\mathsf{J}(\mathsf{v})$ 涉及对满足 $v_1 + v_2 = \mathsf{v}$ 的 $v_1, v_2$ 求和，加权因子为 $(-1)^{\chi(v_2,v_1)-1} \chi(v_2,v_1)$，并乘以 $\operatorname{P}_{-m_1,\beta_1} \operatorname{I}_{m_2,\beta_2}$。
• 对于 Picard 秩为一的卡拉比-丘 3- fold，生成函数 $A(\mathsf{v}_n, \mu_{\mathsf{v},n})$ 在经 $\chi(\mathcal{O}_X(-n), \mathsf{v})$ 归一化后，可提取 $\mathsf{J}(\mathsf{v})$ 作为系数，从而通过壁穿刺证明了通用公式。
• 建立了秩二 DT 不变量的递归公式：$\mathsf{J}_{\mathrm{ti}}(\alpha)$ 表示为对秩一 DT 不变量的求和，包含涉及 $\mathsf{J}(v_1)\mathsf{J}(v_2)$ 与系数 $C_{v_1,v_1'}$ 的修正项。
• 结果在 [Li19, Kos20, Liu21] 中使用的受限稳定性条件下成立，确保其适用于已知的壁穿刺框架。