[论文解读] Explicit Quantum Circuits for Block Encodings of Certain Sparse Matrices

Daan Camps, Lin Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 15

一句话总结

本文提出了结构化稀疏矩阵的显式量子线路构造，实现了量子线性代数算法的高效实现。通过利用矩阵稀疏模式和数值的预言机，作者展示了对随机矩阵和判别矩阵等矩阵的实用量子线路，通过QCLAB仿真验证了在$n=6$量子比特下，利用量子行走实现标记顶点检测的二次加速。

ABSTRACT

Many standard linear algebra problems can be solved on a quantum computer by using recently developed quantum linear algebra algorithms that make use of block encodings and quantum eigenvalue/singular value transformations. A block encoding embeds a properly scaled matrix of interest A in a larger unitary transformation U that can be decomposed into a product of simpler unitaries and implemented efficiently on a quantum computer. Although quantum algorithms can potentially achieve exponential speedup in solving linear algebra problems compared to the best classical algorithm, such gain in efficiency ultimately hinges on our ability to construct an efficient quantum circuit for the block encoding of A, which is difficult in general, and not trivial even for well-structured sparse matrices. In this paper, we give a few examples on how efficient quantum circuits can be explicitly constructed for some well-structured sparse matrices, and discuss a few strategies used in these constructions. We also provide implementations of these quantum circuits in MATLAB.

研究动机与目标

• 为解决构建高效量子线路以实现稀疏矩阵块编码的挑战，这是量子线性代数算法的关键。
• 为具有良好结构的稀疏矩阵（如随机矩阵和判别矩阵）提供显式且实用的量子线路构造。
• 展示如何通过量子线路设计策略高效实现矩阵稀疏性和数值的预言机。
• 表明在量子行走应用中，可直接对矩阵$A$（不通过$1/s$缩放）进行块编码，相比缩放编码方式提升效率。
• 通过基于QCLAB的量子行走仿真，验证该方法在带标记顶点图上的有效性。

提出的方法

• 作者通过设计编码稀疏模式和非零值的受控旋转与受控操作的预言机，构建了$s$-稀疏矩阵的块编码。
• 他们利用量子奇异值变换（QSVT）框架，通过受控应用块编码酉算符$U_A$，实现矩阵$A$的多项式函数（如切比雪夫多项式）。
• 对于量子行走，构建了与转移矩阵$P$相关的判别矩阵$D$的块编码，使$U_D^k$能够模拟$k$步行走。
• 初始态$\ket{\psi_0} = \ket{0^n}(H^{\otimes n}\ket{0^n})$被制备以初始化量子行走，并监测测量$\ket{0^n}$的成功概率。
• 使用QCLAB MATLAB工具箱实现并测试了线路，完整代码可在GitHub上获取。
• 通过分析$U_D^k$下成功概率$p(\ket{0^n})$的演化，区分对称与非对称$P$矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为结构化稀疏矩阵的块编码构造显式量子线路，特别是在标准$A/s$缩放不充分时？
• RQ2 哪些策略能够高效实现量子线路中稀疏矩阵的稀疏模式和非零值的预言机？
• RQ3 能否在量子行走应用中实现对矩阵$A$（不通过$1/s$缩放）的直接块编码，从而提升算法效率？
• RQ4 在$U_D^k$下，测量$\ket{0^n}$态的成功概率如何演化？能否区分对称与非对称转移矩阵？
• RQ5 检测量子行走中标记顶点的最优步数$k$是多少？与经典随机行走相比如何？

主要发现

• 当$U_D$编码非对称$P$的判别矩阵时，在$k = \lceil \pi\sqrt{N}/(2\sqrt{2}) \rceil$步后，测量$\ket{0^n}$的成功概率降至$1/N$，表明检测到标记顶点。
• 对于$n=6$量子比特（$N=64$），仿真显示在$k_{\text{opt}} \approx 5.6$时，两种状态（对称与非对称$P$）达到最大可区分性，与理论预测一致。
• 该方法实现了二次加速：通过量子行走以$\mathcal{O}(\sqrt{N})$步检测标记顶点，而经典情况下需$\mathcal{O}(N)$步。
• 非对称情况下$D$的块编码具有特征值$1$和$1 - \delta = (N-1)/N$，在最优$k$处$T_k(1 - \delta) \approx 0$，从而最小化成功概率。
• 在QCLAB中实现了显式量子线路的块编码，完整源代码可在https://github.com/QuantumComputingLab/explicit-block-encodings获取。
• 作者证明了在图的量子行走中，可直接对$A$（而非$A/s$）进行块编码，避免了$1/s$缩放因子带来的性能损失。