[论文解读] Exponential ergodicity of semilinear equations driven by Lévy processes in Hilbert spaces

Anna Chonowska-Michalik, Beniamin Gołdys|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在希尔伯特空间中建立了由莱维噪声驱动的半线性随机偏微分方程的指数遍历性，证明了转移概率在总变差范数下指数收敛于不变测度。该方法结合了强弗勒尔性与不可约性、紧半群及矩估计，将先前结果推广至一般莱维噪声，包括对称 $\alpha$-稳定噪声和奇异维纳过程。

ABSTRACT

We study convergence to the invariant measure for a class of semilinear stochastic evolution equations driven by Lévy noise, including the case of cylindrical noise. For a certain class of equations we prove the exponential rate of convergence in the norm of total variation. Our general result is applied to a number of specific equations driven by cylindrical symmetric $α$-stable noise and/or cylindrical Wiener noise. We also consider the case of a "singular" Wiener process with unbounded covariance operator. In particular, in the equation with diagonal pure $α$-stable cylindrical noise introduced by Priola and Zabczyk we generalize results in [12]. In the proof we use an idea of Maslowski and Seidler from [10].

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间中建立由莱维噪声驱动的半线性SPDE的转移概率在总变差范数下指数收敛于不变测度。
• 将现有遍历性结果从维纳噪声推广至一般莱维过程，包括对称 $\alpha$-稳定与奇异维纳过程。
• 提供过渡测度以指数速度收敛于唯一不变测度的充分条件。
• 通过加强收敛速率，推广先前关于 $\alpha$-稳定噪声的研究结果，特别是 [12] 和 [15] 中的工作。

提出的方法

• 采用生成 $C_0$-半群的生成元 $A$ 和利普希茨连续漂移 $F$ 的半线性SPDE框架。
• 应用马斯洛夫斯基与赛德勒 [10] 的方法，通过强弗勒尔性与不可约性建立指数遍历性。
• 对莱维过程 $Z_t = ta + Q^{1/2}W_t + Y_t$ 施加条件，确保可积性与矩估计。
• 通过解 $X_t^x$ 的格朗沃尔型估计建立矩估计，利用 $S_t$ 的紧性与 $F$ 的有界性。
• 通过矩估计与 $S_1$ 的紧性，证明 $\{\mu_t^0\}_{t \geq 1}$ 的紧性，从而保证不变测度的存在性。
• 应用 [6] 中定理 12.1，依赖于 $x \mapsto \mu_T^x(K)$ 在紧球上的弱连续性，证明指数收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由莱维噪声驱动的半线性SPDE的解在总变差范数下指数收敛于不变测度？
• RQ2 指数遍历性结果能否从维纳噪声推广至一般莱维噪声，包括对称 $\alpha$-稳定与奇异维纳过程？
• RQ3 强弗勒尔性与不可约性如何与半群的紧性相互作用，以确保指数收敛？
• RQ4 与 [12] 和 [15] 中关于 $\alpha$-稳定噪声的先前结果相比，收敛速率能否进一步加强？

主要发现

• 在指数稳定性、紧性、转移半群的强弗勒尔性与不可约性假设下，建立了向不变测度的总变差范数下指数收敛。
• 收敛速率是指数的，总变差距离满足 $\|\mu_t^x - \mu\|_{TV} \leq C e^{-\kappa t}$，其中 $\kappa > 0$，在所述条件下成立。
• 对于对称 $\alpha$-稳定圆柱噪声，该结果强化了 [12] 和 [15] 中的早期发现，提供了更优的收敛速率。
• 该方法适用于带对称 $\alpha$-稳定噪声与具有无界协方差算子的奇异维纳过程混合的随机热方程。
• 通过矩估计与 $S_1$ 的紧性，证明了 $\{\mu_t^0\}_{t \geq 1}$ 的紧性，从而证明了不变测度的存在性。
• 建立了 $x \mapsto \mu_T^x(K)$ 在弱紧集上的弱连续性，使能够应用 [6] 中定理 12.1，从而得出指数遍历性的结论。