[论文解读] Exponential Quantum Speed-ups for Semidefinite Programming with Applications to Quantum Learning

Fernando G. S. L. Brandão, Amir Kalev+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2017

Machine Learning and Algorithms被引用 14

一句话总结

本文提出了一种用于半定规划（SDP）的量子算法，通过利用量子态输入和低秩哈密顿量采样，实现了相对于经典方法的指数级加速。该算法仅使用 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) 个量子门，即可高效学习与测量数据一致的量子态。其关键技术进展是为低秩哈密顿量设计了具有对数多项式量级的量子吉布斯态采样器。

ABSTRACT

We give semidefinite program (SDP) quantum solvers with an exponential speed-up over classical ones. Specifically, we consider SDP instances with $m$ constraint matrices of dimension $n$, each of rank at most $r$, and assume that the input matrices of the SDP are given as quantum states (after a suitable normalization). Then we show there is a quantum algorithm that solves the SDP feasibility problem with accuracy $\epsilon$ by using $\sqrt{m}\log m\cdot ext{poly}(\log n,r,\epsilon^{-1})$ quantum gates. The dependence on $n$ provides an exponential improvement over the work of Brand\~ao and Svore and the work of van Apeldoorn et al., and demonstrates an exponential quantum speed-up when $m$ and $r$ are small. We apply the SDP solver to the problem of learning a good description of a quantum state with respect to a set of measurements: Given $m$ measurements and a supply of copies of an unknown state $ ho$, we show we can find in time $\sqrt{m}\log m\cdot ext{poly}(\log n,r,\epsilon^{-1})$ a description of the state as a quantum circuit preparing a density matrix which has the same expectation values as $ ho$ on the $m$ measurements up to error $\epsilon$. The density matrix obtained is an approximation to the maximum entropy state consistent with the measurement data considered in Jaynes' principle. As in previous work, we obtain our algorithm by quantizing classical SDP solvers based on the matrix multiplicative weight update method. One of our main technical contributions is a quantum Gibbs state sampler for low-rank Hamiltonians with a poly-logarithmic dependence on its dimension based on the techniques developed in quantum principal component analysis, which could be of independent interest.

研究动机与目标

• 开发一种量子算法，以相对于经典方法的指数级加速求解半定规划（SDP）可行性问题。
• 通过近似与数据一致的最大熵态，实现仅使用 m 次测量高效学习量子态的描述。
• 通过量子技术将对约束矩阵维度 n 的依赖从多项式降低至对数多项式量级。
• 设计一种对系统维度 n 具有对数多项式量级缩放的低秩哈密顿量量子吉布斯态采样器，且独立于 n。

提出的方法

• 将经典的矩阵乘法权重更新方法适配至量子框架，利用量子态输入和幅值放大技术。
• 基于量子主成分分析（QPCA）技术，采用量子吉布斯态采样器高效制备低秩哈密顿量热态。
• 利用幅值估计和量子奇异值变换，高精度估计测量算符的期望值。
• 构建一个在时间复杂度为 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) 内运行的量子SDP求解器，其中 m 为约束数量，n 为矩阵维度，r 为最大秩。
• 将量子SDP求解器集成至态学习协议中，以重建一个量子线路，其制备的密度矩阵在误差 ε 内匹配测量结果。
• 通过利用低秩结构和量子线性代数原语，实现在门数中对 n 的对数多项式依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入矩阵以量子态形式提供时，量子算法是否能在求解SDP可行性问题上实现指数级加速？
• RQ2 在可访问未知态副本的前提下，学习与 m 次测量结果一致的量子态的最优量子复杂度是多少？
• RQ3 能否为低秩哈密顿量构造一种具有对数多项式依赖于系统维度 n 的量子吉布斯态采样器？
• RQ4 该量子SDP求解器在约束数 m、矩阵维度 n 和约束矩阵秩 r 上的缩放特性如何？
• RQ5 量子SDP求解器在多大程度上可用于近似满足测量约束的最大熵态？

主要发现

• 该量子SDP求解器实现了 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) 的门复杂度，在 n 上相对于以往经典和量子方法实现了指数级加速。
• 该算法在仅具有对数多项式依赖于矩阵维度 n 的情况下，以精度 ε 求解SDP可行性问题，即使 n 很大亦成立。
• 基于QPCA技术，开发出一种对 n 具有对数多项式量级运行时间的低秩哈密顿量量子吉布斯态采样器，且独立于 n。
• 该方法可在 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) 时间内，从 m 次测量中学习到与最大熵态在误差 ε 内一致的量子态描述。
• 当 m 和 r 较小时，即使 n 很大，该方法也因在 n 上的有利缩放而展现出指数级量子加速。
• 将量子SDP求解器应用于量子态学习，生成的密度矩阵在 m 次测量的期望值上与未知态的测量结果在误差 ε 内一致。