[论文解读] Extendability of continuous maps is undecidable

Martin Čadek, Marek Krčál+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用 14

一句话总结

该论文证明了当定义域维度为 2k 时，连续映射在有限单纯复形之间的扩张问题即使在目标空间为 (k−1)-连通的情况下也是不可判定的。该研究证明了该问题在先前已知的可判定阈值 dim X ≤ 2k−1 之外变得不可判定，并进一步表明，即使固定目标空间或固定对 (X, A)，这种不可判定性依然存在。该结果强化了计算代数拓扑中关于高阶同伦群计算复杂性的已有界限。

ABSTRACT

We consider two basic problems of algebraic topology, the extension problem and the computation of higher homotopy groups, from the point of view of computability and computational complexity. The extension problem is the following: Given topological spaces X and Y, a subspace A\subseteq X, and a (continuous) map f:A->Y, decide whether f can be extended to a continuous map \bar{f}:X->Y. All spaces are given as finite simplicial complexes and the map f is simplicial. Recent positive algorithmic results, proved in a series of companion papers, show that for (k-1)-connected Y, k>=2, the extension problem is algorithmically solvable if the dimension of X is at most 2k-1, and even in polynomial time when k is fixed. Here we show that the condition \dim X<=2k-1 cannot be relaxed: for \dim X=2k, the extension problem with (k-1)-connected Y becomes undecidable. Moreover, either the target space Y or the pair (X,A) can be fixed in such a way that the problem remains undecidable. Our second result, a strengthening of a result of Anick, says that the computation of π_k(Y) of a 1-connected simplicial complex Y is #P-hard when k is considered as a part of the input.

研究动机与目标

• 确定有限单纯复形之间连续映射扩张问题的计算复杂性边界。
• 研究当 Y 为 (k−1)-连通时，扩张问题在 dim X ≤ 2k−1 之外是否仍可判定。
• 证明即使固定目标空间或固定对 (X, A)，不可判定性依然成立。
• 强化计算高阶同伦群 πk(Y) 的复杂性界限，表明当 k 作为输入的一部分时，该问题为 #P-难。

提出的方法

• 将群论中的字问题归约到扩张问题，利用同伦理论和单纯集的构造。
• 使用 Kan 复形和锥面填充过程来建模同伦类型，并从任意单纯集构造 ∞-等价。
• 应用相对 Hurewicz 定理和同调正合列以控制有限逼近中的同伦群。
• 构造有限单纯集 Z′，使其为给定的 (k−1)-连通 Kan 复形 Z 的 n-等价，同时保持有限性与连通性。
• 通过迭代填充单纯集中的锥面，构建 K∞(Y)，即与原始 Y 具有 ∞-等价关系的 Kan 复形。
• 对 K∞(Y) 进行形变收缩，使其退化为一个极小 Kan 复形，以确保有限性并保持同伦类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 dim X = 2k 且 Y 为 (k−1)-连通时，扩张问题是否可判定？
• RQ2 当固定目标空间 Y 或固定对 (X, A) 时，扩张问题的不可判定性是否仍然成立？
• RQ3 当 k 作为输入的一部分时，计算 πk(Y) 的计算复杂性如何？
• RQ4 已知在 dim X ≤ 2k−1 时扩张问题具有算法可判定性，该结果是否可推广至更高维度？
• RQ5 有限单纯集能否在保持同伦群至维度 n 的前提下近似高阶同伦类型？

主要发现

• 当 dim X = 2k 时，即使 Y 为 (k−1)-连通，扩张问题仍为不可判定，表明 dim X ≤ 2k−1 的界限是紧致的。
• 即使将目标空间 Y 固定为一个 (k−1)-连通的有限单纯复形，不可判定性依然成立。
• 当固定对 (X, A)，其中 X 维度为 2k 且 A 为子复形时，扩张问题仍为不可判定。
• 当 k 作为输入的一部分时，计算 1-连通单纯复形 Y 的 πk(Y) 为 #P-难，强化了 Anick 的结果。
• 对于任意 (k−1)-连通 Kan 复形 Z，若其同调在维度 n 以内有限生成，则存在一个有限的 (k−1)-约化单纯集 Z′ 及一个 n-等价映射 ψ: Z′ → Z。
• 通过迭代锥面填充构造 K∞(Y) 的过程，可得到一个与 Y 具有 ∞-等价关系的 Kan 复形，且该复形可通过形变收缩退化为一个极小 Kan 复形，从而保持同伦类型。