[论文解读] Extended (Conventional) Co-Prime Arrays and Difference Set Analysis: Low Latency Approach

Usham V. Dias|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2020

Direction-of-Arrival Estimation Techniques参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文为扩展（传统）互质阵列的权函数、相关图偏差窗及方差推导出闭式表达式，实现了低延迟的二阶统计量估计。结果表明，选择 $ M \approx \frac{N}{2} $ 可最小化旁瓣能量，显著提升谱估计精度，同时降低计算复杂度。

ABSTRACT

The co-prime array is a sub-Nyquist acquisition scheme for the estimation of second order statistics. It cannot generate all the difference values in the co-prime range and hence, one of the sub-array is extended to enable the estimation of the second order statistics at each difference value in the co-prime range. Recently, the difference set for the co-prime array was studied and low latency temporal spectrum estimation was demonstrated. In this paper, the fundamentals of the difference set of the extended co-prime array, also known as the conventional co-prime array, is developed. The closed-form equations for the weight function, correlogram bias window, and the variance are described. This is provided for the entire difference set, continuous difference set and for the prototype co-prime period. It is shown that the choice of $M\approx \frac{N}{2}$ generates a bias function with a large relative amplitude between the main-lobe and side-lobe peaks, where $M$ and $N$ are co-prime pairs. The expressions for the number of multiplications and additions required to compute the autocorrelation for the entire, continuous, and prototype range is derived. Simulation results demonstrate low latency spectrum estimation using the correlogram method.

研究动机与目标

• 推导扩展互质阵列中相关图方法的权函数、偏差窗及方差的闭式表达式。
• 通过相关图方法实现低延迟的二阶统计量估计，如功率谱和自相关函数。
• 分析阵列配置对谱估计精度的影响，特别是 $ M $ 和 $ N $ 在最小化旁瓣能量中的作用。
• 通过推导自相关估计所需的乘法与加法次数，量化计算复杂度。
• 通过多种谱峰场景的仿真验证理论模型。

提出的方法

• 利用整数向下取整函数和互质对的性质，推导整个差集、连续集及原型互质范围的权函数 $ z_{e_c}(l) $。
• 将偏差窗定义为权函数的傅里叶变换，用于建模相关图估计中的谱失真。
• 基于权函数的自相关函数与信号功率，推导相关图估计的方差。
• 通过统计计算自相关估计所需的乘法与加法次数，评估全集、连续集及原型差集的计算成本。
• 采用时间采样框架，将一个子阵列扩展一个互质周期，以确保完整覆盖互质范围。
• 通过 $ L = 10 $ 个快照的仿真验证理论表达式，比较不同 $ (M,N) $ 组合下的谱估计结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为所有差集形式的扩展互质阵列，以闭式表达权函数与偏差窗？
• RQ2 在最小化偏差窗中旁瓣能量方面，$ M $ 和 $ N $ 的最优选择是什么，特别是 $ M \approx N/2 $ 时？
• RQ3 在扩展互质阵列中，自相关估计的计算复杂度如何随差集大小变化？
• RQ4 偏差窗失真对多谱峰场景下谱估计精度的影响程度如何？
• RQ5 所推导的表达式能否推广至 $ M > N $ 和 $ N > M $ 情况？哪种配置能获得更优的主瓣与旁瓣幅度比？

主要发现

• 选择 $ M \approx \frac{N}{2} $ 可使偏差函数在主瓣与旁瓣峰值之间具有较大的相对幅度，从而减少谱失真。
• 推导的权函数 $ z_{e_c}(l) $ 适用于整个差集、连续集及原型互质范围，其显式表达式包含向下取整函数。
• 已推导出自相关估计在全集、连续集及原型差集下所需的乘法与加法次数。
• 仿真结果表明，$ (M,N) = (3,7) $ 在单峰与三峰谱估计中均表现更优，尤其在多峰场景下优于 $ (3,8) $。
• 偏差窗表达式能准确建模相关图谱估计中的卷积失真，验证了理论框架的有效性。
• 相关图估计的方差已通过解析方法推导，并表明其依赖于权函数的自相关函数与信号功率。