[论文解读] Extending representations of subgroups and the duality of induction and restriction

Astrid an Huef, S. Kaliszewski+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了局部紧群 G 的闭子群 H 的酉表示何时可扩展到同一希尔伯特空间上的 G 的表示。通过 C*-代数的交叉积的非交换对偶性，作者建立了此类扩展存在的条件，提供了一个对偶性框架，将表示理论中的诱导与限制函子联系起来。

ABSTRACT

Abstract. Suppose that G is a locally compact group and U is a representation of a closed subgroup H of G on a Hilbert space H. We use nonabelian duality for crossed products of C ∗-algebras to study the following problem: when does U extend to a representation of G on the same space H? 1.

研究动机与目标

• 确定局部紧群 G 的闭子群 H 的酉表示在何种条件下可扩展为同一希尔伯特空间上 G 的表示。
• 将 C*-代数的交叉积的非交换对偶性应用于诱导与受限表示的上下文，分析扩展问题。
• 在局部紧群的表示理论中建立诱导与限制函子之间的对偶性。
• 利用算子代数技术阐明子群表示与其在全群上的扩展之间的结构关系。
• 提供一个统一研究诱导与受限表示的框架，通过 C*-代数交叉积的视角实现。

提出的方法

• 利用与群作用相关的 C*-代数交叉积理论，对表示扩展问题进行建模。
• 应用非交换对偶性定理，通过其关联的 C*-代数将 H 和 G 的表示理论联系起来。
• 通过交叉积上的对偶作用分析诱导表示的结构，特别关注从 H 到 G 的表示扩展。
• 运用不动点定理与交叉积的对偶性，推导出 H 的表示可扩展为 G 的表示的条件。
• 利用适当 A 的交叉积 C*-代数 C*(G, A) 的结构，编码诱导与限制之间的对偶性。
• 应用 Takesaki-Takai 对偶性定理，将交叉积上的对偶作用与原始群作用联系起来，从而支持扩展分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部紧群 G 的闭子群 H 的酉表示可扩展为同一希尔伯特空间上 G 的表示？
• RQ2 C*-代数的交叉积的非交换对偶性如何揭示表示理论中诱导与限制函子之间的对偶性？
• RQ3 交叉积 C*-代数在编码表示扩展问题中起什么作用？
• RQ4 从交叉积及其对偶作用的结构中，诱导与限制之间的对偶性以何种方式显现？
• RQ5 如何系统地利用算子代数方法将子群的表示理论与全群的表示理论联系起来？

主要发现

• 本文利用 C*-代数交叉积的非交换对偶性，在局部紧群的表示理论中建立了诱导与限制函子之间的对偶性。
• 基于关联交叉积 C*-代数的结构，提供了 H 的表示可扩展为全群 G 的表示的刻画。
• 证明了扩展问题等价于从交叉积 C*(H, H) 到 H 上有界算子代数的 G-等变 *-同态的存在性。
• 非交换对偶性使作者能够将从 H 诱导的 G 表示与 G 表示限制到 H 的关系联系起来，揭示出一种对称对偶性。
• 结果表明，H 的表示 U 可扩展为 G 的表示，当且仅当其关联的协变表示可扩展为 G 的协变表示。
• 该框架实现了对诱导与限制的统一处理，对偶性定理为此对应关系提供了精确的代数机制。