[论文解读] Extension of Mittag-Leffler function

Gauhar Rahman, Kottakkaran Sooppy Nisar+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过引入基于合流超几何函数 $_1F_1$ 的广义贝塔函数，进一步扩展了梅特格-莱夫勒函数，建立了积分表示、以 Wright 超几何函数表示的梅林变换，以及分数阶微分性质。主要贡献在于证明了经典梅特格-莱夫勒函数的扩展分数阶微分可得到新的扩展函数，从而推广了先前的结果。

ABSTRACT

In this paper, we present an extension of Mittag-Leffler function by using the extension of beta functions (Özergin et al. in J. Comput. Appl. Math. 235 (2011), 4601-4610) and obtain some integral representation of this newly defined function. Also, we present the Mellin transform of this function in terms of Wright hypergeometric function. Furthermore, we show that the extended fractional derivative of the usual Mittag-Leffler function gives the extension of Mittag-Leffler function.

研究动机与目标

• 通过引入包含合流超几何函数项的广义贝塔函数，扩展梅特格-莱夫勒函数。
• 推导新扩展函数的积分表示和梅林变换表示。
• 建立扩展分数阶微分与扩展梅特格-莱夫勒函数之间的联系。
• 通过引入额外参数 $\lambda$ 和 $\rho$，推广先前的梅特格-莱夫勒函数扩展。

提出的方法

• 通过涉及合流超几何函数 $_1F_1$ 的扩展贝塔函数 $B_p^{\lambda,\rho}(x,y)$ 定义新的扩展梅特格-莱夫勒函数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma,c;\lambda,\rho}(z;p)$。
• 通过将扩展贝塔函数代入级数定义并交换求和与积分顺序，推导出积分表示。
• 计算扩展函数的梅林变换，并以 Wright 超几何函数表示。
• 引入一种涉及 $_1F_1$ 的扩展 Riemann-Liouville 分数阶微分算子，以推广经典分数阶微分。
• 建立一个微分公式，表明扩展梅特格-莱夫勒函数的 $n$ 阶导数可得到另一组参数发生平移的扩展梅特格-莱夫勒函数。
• 证明 $z^{\delta-1}E_{\alpha,\beta}^c(z)$ 的扩展分数阶微分结果为具有参数 $\delta$、$\mu$、$\lambda$、$\rho$ 的新扩展梅特格-莱夫勒函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用包含合流超几何函数项的扩展贝塔函数，进一步推广梅特格-莱夫勒函数？
• RQ2 对于新定义的扩展梅特格-莱夫勒函数，可以推导出哪些积分表示和变换表示？
• RQ3 扩展分数阶微分算子与新梅特格-莱夫勒函数之间有何关系？
• RQ4 扩展梅特格-莱夫勒函数在重复微分下满足哪些微分性质？
• RQ5 在何种条件下，新扩展形式可退化为已知形式，如经典或先前扩展的梅特格-莱夫勒函数？

主要发现

• 扩展梅特格-莱夫勒函数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma,c;\lambda,\rho}(z;p)$ 具有涉及 $t^{\gamma-1}(1-t)^{c-\gamma-1}$、$_1F_1$ 和 $E_{\alpha,\beta}^c(tz)$ 的积分表示，如定理 2.1 所示。
• 扩展梅特格-莱夫勒函数的梅林变换以 Wright 超几何函数表示。
• 函数 $z^{\delta-1}E_{\alpha,\beta}^c(z)$ 的扩展分数阶微分结果为 $\frac{z^{\mu-1}B(\delta,c-\delta)}{\Gamma(\mu-\delta)}E_{\alpha,\beta}^{\delta,\mu;\lambda,\rho}(z;p)$，证明了分数阶微积分与新函数之间的关键联系。
• 扩展梅特格-莱夫勒函数的 $n$ 阶导数为 $\frac{(c)_n(\lambda)_n}{(\rho)_n}E_{\alpha,\beta+n\alpha}^{\gamma+n,c+n;\lambda+n,\rho+n}(z;p)$，表明微分下参数发生平移。
• 当 $\lambda = \rho$ 时，新扩展退化为 Özarslan 与 Yilmaz（2013）定义的扩展梅特格-莱夫勒函数；当 $p=0$ 时，退化为广义梅特格-莱夫勒函数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)$。
• 当 $\lambda = \rho$ 且 $p=0$ 时，扩展分数阶微分算子退化为经典 Riemann-Liouville 微分算子，确认了与已有理论的一致性。