[论文解读] Extension theorem for nonlocal operators

Krzysztof Bogdan, Tomasz Grzywny+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Differential Equations and Boundary Problems被引用 3

一句话总结

本文在对外部数据的正则性要求最低的条件下，建立了Sobolev空间中非局部算子的延拓定理。结果表明，最小能量延拓由一个Poisson积分给出，并对应于Dirichlet问题的弱解，且该延拓的Sobolev范数可表示为边界数据的加权Sobolev范数。

ABSTRACT

We solve the extension problem in Sobolev spaces for nonlocal operators under minimal regularity of the exterior values. The extension with the smallest value of the quadratic form is given by a suitable Poisson integral and is the weak solution of the corresponding Dirichlet problem. We express the Sobolev form of the extension as a weighted Sobolev form of the exterior data.

研究动机与目标

• 在对外部数据的正则性要求最低的条件下，解决Sobolev空间中非局部算子的延拓问题。
• 表征与非局部算子相关的二次型最小化的延拓。
• 建立延拓的Sobolev范数与边界数据的加权Sobolev范数之间的联系。
• 证明最小能量延拓是相应Dirichlet问题的弱解。

提出的方法

• 通过为非局部算子量身定制的Poisson积分算子构造延拓。
• 通过变分原理将最小能量延拓识别为Dirichlet问题的弱解。
• 将延拓的二次型表示为外部数据的加权Sobolev半范数。
• 分析依赖于加权Sobolev空间中的泛函分析技术。
• 该方法利用了延拓算子与迹算子之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当外部数据正则性最弱时，如何求解非局部算子的延拓问题？
• RQ2 在非局部算子背景下，最小能量延拓的结构是什么？
• RQ3 延拓的Sobolev范数与边界数据有何关系？
• RQ4 最小能量延拓能否被表征为Dirichlet问题的弱解？

主要发现

• 外部数据的最小能量延拓由与非局部算子相关的Poisson积分给出。
• 该延拓是相应Dirichlet问题的唯一弱解。
• 延拓的Sobolev半范数等于外部数据的加权Sobolev半范数。
• 该构造在对外部数据的正则性要求最低的条件下依然成立。