[论文解读] Extensive entropy from unitary evolution

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2021

Quantum many-body systems被引用 5

一句话总结

本文证明，任何具有非简并能级间隙的量子多体哈密顿量，在通用局域相互作用下，从随机产品态演化时，都会产生广延的纠缠熵。该研究确立了此类系统在长时间演化下，以极高概率表现出体积律纠缠熵，解决了多体局域化领域长期存在的观测现象，并证实了孤立量子系统中广延熵的普遍涌现。

ABSTRACT

In quantum many-body systems, a Hamiltonian is called an ``extensive entropy generator'' if starting from a random product state the entanglement entropy obeys a volume law at long times with overwhelming probability. We prove that (i) any Hamiltonian whose spectrum has non-degenerate gaps is an extensive entropy generator; (ii) in the space of (geometrically) local Hamiltonians, the non-degenerate gap condition is satisfied almost everywhere. Specializing to many-body localized systems, these results imply the observation stated in the title of Bardarson et al. [PRL 109, 017202 (2012)].

研究动机与目标

• 数学表征孤立量子多体系统中广延纠缠熵的普遍涌现。
• 确立具有非简并能级间隙的哈密顿量可从随机产品态生成体积律纠缠熵。
• 证明非简并能隙条件在局域哈密顿量空间中具有普遍性。
• 解决长期存在的数值观测现象：局域系统在通用局域微扰下导致纠缠熵无界增长。

提出的方法

• 使用哈密顿-随机产品态作为初始条件，以模拟典型的初始纯态。
• 应用约化密度矩阵的无限时间平均来分析长时间纠缠动力学。
• 通过哈密顿量的谱分析定义并验证能量差上的非简并能隙条件。
• 利用测度集中与随机矩阵理论，证明体积律纠缠熵出现的概率指数趋近于1。
• 构建显式模型（如具有交替磁场的XXZ自旋链）以实现非简并能隙谱。
• 利用冯诺依曼熵的次可加性与凹性，对长时间平均纠缠熵进行上界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，典型的局域哈密顿量可从随机产品态生成广延纠缠熵？
• RQ2 非简并能隙条件是否足以在长时间极限下导致体积律纠缠熵？
• RQ3 非简并能隙条件在局域哈密顿量中具有多高的普遍性？
• RQ4 对多体局域系统施加典型局域微扰是否会导致纠缠熵无界增长？
• RQ5 能否严格证明在典型量子多体系统中，体积律纠缠熵以极高概率涌现？

主要发现

• 任何具有非简并能级间隙的哈密顿量，从随机产品态演化时，以概率 1 - e^(-Ω(N)) 生成体积律纠缠熵。
• 非简并能隙条件在几何局域哈密顿量空间中几乎处处成立。
• 在高概率下，大小为 n 的子系统长时间平均纠缠熵满足 S ≥ (1 - ε)n ∑_{k=2}^d 1/k。
• 该结果证实了 Bardarson 等人（2012）的观测：局域系统在通用局域微扰下导致纠缠熵无界增长。
• 在一维自旋链与哑粒子系统中，存在具有非简并能隙的哈密顿量的显式构造。
• 纠缠熵的无限时间平均值被单体冯诺依曼熵之和上界控制，而后者对哈密顿-随机态已有统计已知。