[论文解读] Extinction and spreading of a species under the joint influence of climate change and a weak Allee effect: a two-patch model

Juliette Bouhours, Thomas Giletti|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文研究了一个双斑块反应-扩散模型，其中物种面临由气候变化引起的栖息地迁移以及微弱的阿勒效应。结果表明，物种灭绝或扩散的关键取决于气候变化速度和初始种群大小，揭示了与初始条件相关的非平凡临界速度阈值——这与KPP情形下阈值仅依赖于速度的情况形成鲜明对比。

ABSTRACT

Many species see their range shifted poleward in response to global warming and need to keep pace in order to survive. To understand the effect of climate change on species ranges and its consequences on population dynamics, we consider a space-time heterogeneous reaction-diffusion equation in dimension 1, whose unknown~$u (t,x)$ stands for a population density. More precisely, the environment consists of two patches moving with a constant climate shift speed $c \geq 0$: in the invading patch $\{ t >0 , \, x \in \R \, | \ x < ct \}$ the growth rate is negative and, in the receding patch $\{ t >0 , \, x \in \R \, | \ x \geq ct \}$ it is of the classical monostable type. Our framework includes species subject to a weak Allee effect, meaning that there may be a positive correlation between population size and its per capita growth rate. We study the large-time behaviour of solutions in the moving frame and show that whether the population spreads or goes extinct depends not only on the speed $c$ but also, in some intermediate speed range, on the initial datum. This is in sharp contrast with the so-called `hair-trigger effect' in the homogeneous monostable equation, and suggests that the size of the population becomes a decisive factor under the joint influence of climate change and a weak Allee effect. Furthermore, our analysis exhibit sharp thresholds between spreading and extinction: in particular, we prove the existence of a threshold shifting speed which depends on the initial population, such that spreading occurs at lower speeds and extinction occurs at faster speeds.

研究动机与目标

• 理解由气候变化引起的栖息地迁移与微弱阿勒效应如何共同影响物种的持续存在或灭绝。
• 研究在引入微弱阿勒效应后，单稳态反应-扩散方程中的经典“发火效应”是否仍然成立。
• 确定在中等气候变化速度下，扩散或灭绝是否取决于初始种群大小。
• 识别分离扩散与灭绝的精确临界速度，并分析其对初始数据的依赖性。
• 建立一个临界速度 $ c(u_0) $ 的存在性，该速度基于初始种群分布决定长期种群命运。

提出的方法

• 构建一个一维反应-扩散方程，其反应项具有随时间和空间变化的非齐次形式 $ f(x - ct, u) $，以模拟移动的气候包络。
• 定义反应项在不利斑块（$ x - ct < 0 $）为负，在有利斑块（$ x - ct \geq 0 $）为单稳态，并通过 $ g'(0) > 0 $ 引入微弱阿勒效应。
• 使用上下解方法和比较原理，分析在移动参考系 $ z = x - ct $ 中的长时间行为。
• 应用斯图尔姆原理以追踪解的符号变化，从而确定零点集并建立类似波状结构的单调性。
• 通过速度参数 $ c $ 的连续性论证和一致有界性，证明了依赖于初始数据的临界速度的存在性。
• 分析在移动参考系中解的行为，以判断其是否收敛于零（灭绝）或趋于非平凡稳态（扩散）

实验结果

研究问题

• RQ1 与KPP情形相比，微弱阿勒效应的存在是否会改变物种在气候变化下持续存在的经典临界速度？
• RQ2 在中等气候变化速度下，初始种群大小是否能决定物种是扩散还是灭绝？
• RQ3 是否存在一个精确的临界速度 $ c(u_0) $，用以分离扩散与灭绝？其如何依赖于初始种群的空间分布？
• RQ4 当 $ c > 2\sqrt{g'(0)} $ 与 $ c = 2\sqrt{g'(0)} $ 时，解在移动参考系中的行为有何不同，特别是在灭绝或“滞留”方面？
• RQ5 在何种条件下，解会一致收敛于零，表示灭绝？在何种条件下，解在移动参考系中能持续存在？”

主要发现

• 分离扩散与灭绝的临界速度 $ c(u_0) $ 非常依赖于初始种群大小 $ u_0 $，这与KPP情形不同。
• 在中等速度范围 $ c \in [2\sqrt{g'(0)}, c^*) $ 内，结果（扩散或灭绝）不仅取决于 $ c $，还取决于初始数据。
• 当 $ c = c(u_0) > 2\sqrt{g'(0)} $ 时，即使 $ c $ 低于KPP临界速度 $ c^* $，仍会发生“滞留”（最终灭绝），这是由于阿勒效应的影响。
• 存在一个临界速度 $ c(u_0) $，使得当 $ c < c(u_0) $ 时发生扩散，当 $ c > c(u_0) $ 时发生灭绝，且 $ c(u_0) $ 随初始种群大小的增加而增大。
• 当 $ c = c(u_0) $ 时，解在 $ t \to \infty $ 时一致收敛于零，确认了灭绝的发生，即使 $ c $ 低于KPP临界速度。
• 分析证明了扩散与灭绝之间存在精确的临界速度阈值，且该临界速度依赖于初始种群的空间支撑范围和大小。