[论文解读] Extremal Functions for Singular Moser-Trudinger Embeddings

Stefano Iula, Gabriele Mancini|edoc (University of Basel)|Jan 1, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文在单位圆盘上建立了带有形如 $|x|^{2eta}$ 的奇异势能的精确奇异 Moser-Trudinger 不等式，通过 Onofri 不等式证明了最佳常数为 $4\pi(1+\alpha)$。通过精细估计排除集中现象，扩展了此类嵌入的极值函数存在性，将经典结果推广至奇异度量和锥面。

ABSTRACT

We study Moser-Trudinger type functionals in the presence of singular potentials. In particular we propose a proof of a singular Carleson-Chang type estimate by means of Onofri's inequality for the unit disk in $\mathbb{R}^2$. Moreover we consider Adimurthi-Druet type functionals on compact surfaces with conical singularities and discuss the existence of extremals for such functionals extending previous results by Castò and Roy.

研究动机与目标

• 在存在奇异势能（特别是 $|x|^{2\alpha}$，其中 $\alpha \in (-1,0]$）的情况下，建立精确的奇异 Moser-Trudinger 不等式。
• 将经典的 Carleson-Chang 和 Adimurthi-Druet 不等式推广至单位圆盘上的奇异度量。
• 证明在具有锥形奇点的紧致曲面上，奇异 Moser-Trudinger 嵌入的极值函数的存在性。
• 通过 Onofri 不等式而非集中紧致性方法，提供最佳常数 $4\pi(1+\alpha)$ 的简化证明。

提出的方法

• 通过径向对称性和变量替换变换问题，在单位圆盘上推导出一个奇异的 Onofri 型不等式。
• 将 Onofri 不等式在单位圆盘上的结果作为基础工具，推导出精确的奇异 Moser-Trudinger 嵌入。
• 应用对称重排方法，将一般区域化为径向对称函数，从而能够与单位圆盘情形进行比较。
• 在 $H^1_{0,rad}(D)$ 中构造测试函数序列 $u_\varepsilon$，以证明奇异 Onofri 不等式中常数的最优性。
• 利用集中紧致性原理和集中估计 (13)，排除极值序列的集中现象。
• 通过共形变换将问题与单位圆盘上的奇异度量联系起来，将结果推广至具有锥形奇点的紧致曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位圆盘上，对于 $\alpha \in (-1,0]$，带有势能 $|x|^{2\alpha}$ 的奇异 Moser-Trudinger 不等式的最佳常数是什么？
• RQ2 能否使用 Onofri 不等式而非集中紧致性方法，证明奇异 Moser-Trudinger 嵌入的极值函数存在性？
• RQ3 奇异嵌入中的最佳常数如何依赖于奇点强度 $\alpha$？
• RQ4 标准 Moser-Trudinger 不等式的经典极值函数结果能否推广至具有锥形奇点的曲面？
• RQ5 罗宾函数在一般区域的集中估计中起什么作用？其在奇异度量下如何推广？

主要发现

• 在单位圆盘上带有势能 $|x|^{2\alpha}$ 的奇异 Moser-Trudinger 不等式中，最佳常数为 $4\pi(1+\alpha)$，且该常数为最优。
• 对于所有 $u \in H^1_0(D)$ 和 $\alpha \in (-1,0]$，不等式 $\log\left(\frac{1+\alpha}{\pi}\int_D |x|^{2\alpha} e^u dx\right) \leq \frac{1}{16\pi(1+\alpha)} \int_D |\nabla u|^2 dx + 1$ 成立，且常数 1 为最优。
• 通过估计 $\limsup_{n\to\infty} \int_D |x|^{2\alpha} e^{4\pi(1+\alpha)u_n^2} dx \leq \frac{\pi(1+e)}{1+\alpha}$，排除了集中现象，从而证明了奇异 Moser-Trudinger 嵌入的极值函数存在性。
• 奇异 Onofri 不等式中的常数 1 是最优的，这通过构造一个序列 $u_\varepsilon$ 使得泛函差趋于 $-1$ 得到验证。
• 通过共形映射将结果推广至具有锥形奇点的紧致曲面，保持了最佳常数和极值函数的存在性。
• 该方法提供了一种使用 Onofri 不等式的新颖且简化的证明，避免了复杂的重排论证，从而推导出奇异 Carleson-Chang 型估计。