[论文解读] Extremes of $q$-Ornstein-Uhlenbeck processes

Yizao Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文建立了 $q$-Ornstein–Uhlenbeck 过程（$q \in (-1,1)$）极值的两个极限定理，该过程是一类具有有界状态空间的平稳、跳跃扩散型马氏过程。通过边界处切过程的弱收敛——即一个正自相似马氏过程——作者利用双重求和法推导出渐近首 crossing 概率中 Pickands 常数的显式公式，并证明在适当的缩放下，i.i.d. 复制品的最小值过程弱收敛于一个新的半极小稳定过程，其形式类似于 Brown–Resnick 极限定理。

ABSTRACT

The $q$-Ornstein-Uhlenbeck processes, $q\in(-1,1)$, are a family of stationary Markov processes that converge weakly to the standard Ornstein-Uhlenbeck process as $q$ tends to 1. It has been noticed recently that in terms of path properties, however, for each $q$ fixed the $q$-Ornstein-Uhlenbeck process behaves qualitatively different from their Gaussian counterpart in several aspects. Here, two limit theorems on the extremes of $q$-Ornstein-Uhlenbeck processes are established. Both results are based on the weak convergence of the tangent process at the lower boundary, a positive self-similar Markov process little investigated so far in the literature. The first result is the asymptotic excursion probability established by the double-sum method, with an explicit formula for the Pickands constant in this context. The second result is a Brown-Resnick-type limit theorem on the minimum process of i.i.d. copies. With appropriate scalings in both time and magnitude, a new semi-min-stable process arises in the limit.

研究动机与目标

• 分析 $q$-Ornstein–Uhlenbeck 过程的极端路径行为，其为非高斯、有界过程，且表现出类似柯西分布的局部行为。
• 利用双重求和法推导固定区间上的渐近首 crossing 概率，要求在非高斯背景下给出 Pickands 常数的显式公式。
• 在时间和幅度联合缩放下，推导 i.i.d. 复制品最小过程的弱极限定理。
• 将极限过程表征为一种新形式的半极小稳定过程，其源于边界处的切过程，而该切过程是一个此前研究不足的正自相似马氏过程。

提出的方法

• 应用双重求和法推导渐近首 crossing 概率，依赖于状态空间边界处切过程的弱收敛。
• 利用切过程——具体而言，一个具有不变测度 $w^{1/2}dw$ 的正自相似马氏过程——分析边界 $b_q^\pm$ 附近的局部行为。
• 通过极值行为的渐近分析，推导出 $q$-Ornstein–Uhlenbeck 过程背景下 Pickands 常数的显式公式。
• 通过时间与幅度的缩放极限，建立 i.i.d. 复制品最小过程的弱收敛性，导出一个新的半极小稳定过程。
• 通过变换 $\xi(t) = \eta(t)^{-3/2}$ 分析尾部相依性，揭示其渐近独立性，残余尾部相依系数为 $1/2$。
• 利用自相似性与切过程 $\mathbb{Z}_t^w$ 的路径分析，计算联合尾部概率与渐近尾部行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定区间上，$q$-Ornstein–Uhlenbeck 过程的渐近首 crossing 概率是什么？能否在该非高斯背景下推导出显式的 Pickands 常数？
• RQ2 在时间和幅度联合缩放下，i.i.d. 复制品最小过程的弱收敛行为如何？
• RQ3 在最小过程弱极限中出现的极限过程的本质是什么？它与经典的 Brown–Resnick 极限定理有何不同？
• RQ4 极限半极小稳定过程的尾部相依结构，特别是在零附近，是怎样的？
• RQ5 边界处的切过程——即一个正自相似马氏过程——如何控制 $q$-Ornstein–Uhlenbeck 过程的极值行为？

主要发现

• 渐近首 crossing 概率为 $\mathbb{P}(\sup_{t\in[0,L]}X_t^{(q)}>u) \sim LC^{1/\alpha}H_\alpha \frac{1}{\sqrt{2\pi}}u^{2/\alpha-1}e^{-u^2/2}$，其中在该非高斯设定下给出了 Pickands 常数 $H_\alpha$ 的显式公式。
• 在适当的缩放 $a_n$ 与 $b_n$ 下，i.i.d. $q$-Ornstein–Uhlenbeck 过程的最小过程弱收敛于一个新的半极小稳定过程 $\{\zeta_t^{(\alpha)}\}$。
• 极限过程 $\eta(t)$ 经变换 $\xi(t) = \eta(t)^{-3/2}$ 后，成为具有标准 1-弗雷chet 边际的半极值稳定过程，且表现出渐近尾部独立性，残余尾部相依系数为 $1/2$。
• 联合尾部概率满足 $\mathbb{P}(\xi(s)>x,\xi(t)>x) \sim \frac{4}{3\pi(t-s)^3}\mathbb{P}(\xi(s)>x)^2$，当 $x\to\infty$ 时，证实了渐近独立性。
• 边界处的切过程是一个自相似指数为 $\alpha/2$ 的正自相似马氏过程，其不变测度为 $w^{1/2}dw$，在推导 Pickands 常数与尾部行为中起核心作用。
• 分析表明，当过程趋近边界时，其迅速向外漂移，这与极限过程中观察到的渐近尾部独立性一致。