[论文解读] Faces for two qubit separable states and the convex hulls of trigonometric moment curves

Seung-Hyeok Kye|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文研究了两量子比特可分态凸集的面部结构，识别出一个与 R⁴ 中三角函数矩曲线的凸包微分同构的 4 维面。该研究将此结果推广至高维情形，表明在 R²ᵖ 中的三角函数矩曲线的凸包作为 S₂×ₚ 中的一个面出现，所有真面均为单形，且极值点由该曲线的像所刻画。主要贡献在于利用量子信息与多面体组合学，对这些凸体的面部结构进行了完整刻画。

ABSTRACT

We analyze the facial structures of the convex set consisting of all two qubit separable states. One of faces is a four dimensional convex body generated by the trigonometric moment curve arising from polyhedral combinatorics. Another one is an eight dimensional convex body, which is the convex hull of a homeomorphic image of the two dimensional sphere. Extreme points consist of points on the surface, and any two of them determines an edge. We also reconstruct the trigonometric moment curve in any even dimensional affine space using the qubit-qudit systems, and characterize the facial structures of the convex hull.

研究动机与目标

• 分析两量子比特可分态凸集 S₂×₂ 的面部结构，并识别其极值面。
• 建立 S₂×₂ 的 4 维面与多面体组合学中三角函数矩曲线之间的联系。
• 将三角函数矩曲线的构造推广至任意偶数维 2p，并将其嵌入可分态集 S₂×ₚ 中。
• 刻画 R²ᵖ 中三角函数矩曲线凸包的面部结构，表明所有真面均为单形。
• 提供一组关于 p 个复变量的有限不等式，以刻画 C²ᵖ 中的成员资格。

提出的方法

• 本文使用部分转置判据识别可分态并分析其凸几何结构。
• 识别出 S₂×₂ 的一个 4 维面为 R⁴ 中三角函数矩曲线 (cos t, sin t, cos 2t, sin 2t) 的凸包。
• 对于一般 p，构造 R²ᵖ 中的三角函数矩曲线为 (cos t, sin t, ..., cos pt, sin pt)，并通过乘积态将其嵌入 S₂×ₚ。
• 应用矩阵理论与线性代数的结果，证明 C²ᵖ 的极值点恰好位于该曲线上。
• 利用密度矩阵及其部分转置的秩条件，区分 C²ᵖ 的内部点与边界点。
• 基于相关密度矩阵的主子式行列式，推导出刻画 C²ᵖ 中成员资格的一组有限多项式不等式系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 两量子比特可分态集 S₂×₂ 的面部结构如何与多面体组合学相关联？
• RQ2 R²ᵖ 中三角函数矩曲线凸包的几何与代数结构为何？
• RQ3 三角函数矩曲线能否被嵌入更高维的可分态集 S₂×ₚ 中，其结果的面部性质如何？
• RQ4 表达 C²ᵖ 中任意点所需的最少极值点数量是多少，这与内部点和边界点有何关系？
• RQ5 C²ᵖ 中的成员资格能否由一组关于复变量的有限多项式不等式刻画？

主要发现

• S₂×₂ 的 4 维面仿射同构于 R⁴ 中三角函数矩曲线的凸包，其极值点恰好位于该曲线上。
• 对任意 p ≥ 1，R²ᵖ 中三角函数矩曲线的凸包 C²ᵖ 是可分态集 S₂×ₚ 的一个面。
• C²ᵖ 中的一点为极值点，当且仅当其位于三角函数矩曲线上。
• C²ᵖ 中任意点可表示为至多 p+1 个极值点的凸组合，且为内部点当且仅当其分解中恰好需要 p+1 个极值点。
• C²ᵖ 的所有真面均为单形，其 k 个极值点对应 k = 1, 2, ..., p，且每个面均为暴露面。
• C²ᵖ 中的成员资格可由一组涉及 p 个复变量的有限多项式不等式刻画，这些不等式源于关联密度矩阵的主子式行列式。