[论文解读] Factor Colorings of Linearly Recurrent Words

Ville Salo, Ilkka Törmä|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2015

semigroups and automata theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文证明了每个非周期性的线性重复无限词都存在一种因子着色，使得其无法被单调地、单色地分解为长度严格递增的因子。通过基于返回词和前缀长度模 2 精心构造的着色方法，作者表明此类分解在长度 $ K+1 $ 之后不可能存在，其中 $ K $ 是线性重复常数，从而在词的拉姆齐理论组合学中建立了强有力的否定结果。

ABSTRACT

In this short article, we study factor colorings of aperiodic linearly recurrent infinite words. We show that there always exists a coloring which does not admit a monochromatic factorization of the word into factors of increasing lengths.

研究动机与目标

• 研究非周期性线性重复无限词是否可以进行因子着色，使得其无法被单调地、单色地分解为长度递增的因子。
• 通过关注因子长度单调性的更强条件，扩展先前关于无限词中单色分解的结果。
• 通过构造一种能阻止此类分解的着色方法，为包括原像置换不动点在内的广泛非周期性词类建立否定结果。
• 提供实现该性质所需颜色数的定量界，将其与线性重复常数 $ K $ 联系起来。

提出的方法

• 定义因子着色 $ c: \mathrm{Fact}^+x \to C $，使用前缀 $ p_n = x[0, K^n - 1] $ 的返回词，其中 $ K $ 是线性重复常数。
• 使用复合颜色集合 $ C = \{\#, \$, (\mathbb{Z}_2 \times B^{<K^5}) \} $，其中 $ B = \{0, \dots, K(K+1)^2 - 1\} $，以同时编码 $ n(u) $ 的奇偶性与返回词的压缩索引 $ r(u) $。
• 将颜色 $ (n(u) \bmod 2, r(u)) $ 分配给那些是 $ p_{n(u)} $ 的返回词的幂（最多 $ K^2 $ 次幂）的因子 $ u $，将 $ \$ 分配给不属于此类幂的前缀，其余情况分配 $ \# $。
• 利用映射 $ \Theta_x^{p_{n-1}} $ 的单射性，该映射将返回词索引映射到实际因子，确保仅凭 $ r(u) $ 即可唯一重构。
• 利用线性重复性质来限制返回词的长度：对任意 $ w \in \mathcal{R}_x(p_n) $，有 $ |w| \geq K^{n-1} $，从而控制 $ r(u) $ 的增长。
• 通过反证法假设存在长度为 $ K+1 $ 的单调单色分解，证明其将导致某因子的 $ (K+1) $ 次重复，违反线性重复的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个非周期性线性重复无限词是否都能被因子着色，使得其无法被单调地、单色地分解为长度递增的因子？
• RQ2 在线性重复词中，阻止此类单调单色分解所需的最少颜色数是多少？
• RQ3 若在无限词的后缀中存在强单色分解（如拉姆齐型结果所示），是否意味着通过精心着色，可在前缀中避免此类分解？
• RQ4 线性重复常数 $ K $ 如何影响返回词的结构以及着色函数的设计？

主要发现

• 每个具有重复常数 $ K $ 的非周期性线性重复无限词 $ x $ 属于类 $ \mathcal{P}_{\mathrm{m}}(K+1,k) $，即其存在一种因子着色，使得不存在长度为 $ K+1 $ 的单调单色分解。
• 此类着色所需的颜色数被限制在 $ k = 2 + \sum_{i=0}^{K^5 - 1} 2K^i(K+1)^{2i} $ 以内，明确量化了构造过程。
• 证明表明，假设此类分解存在将导致矛盾：要么所有因子相等（意味着出现 $ (K+1) $ 次重复），要么更长的因子包含 $ K $ 次重复，两者均违反关于返回词增长的引理 5。
• 该着色设计确保只有前缀和返回词的幂获得非 $ \# $ 颜色，且 $ n(u) $ 的奇偶性确保因子分解中长度的增长破坏了颜色的一致性。
• 该结果意味着，已知为线性重复的非周期性原像置换的不动点也避免此类单调单色分解。
• 该构造具有鲁棒性：即使分解中因子长度递增，着色也能阻止所有因子共享相同颜色，除非它们在结构上受到限制，而这种限制会违反线性重复性质。