[论文解读] Factor modelling for high-dimensional functional time series

Shaojun Guo, Xinghao Qiao+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2021

Statistical Methods and Inference被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于高维函数时间序列的新型函数因子模型，通过加权自协方差算子的特征分析来估计潜在因子和载荷，实现在保留函数结构和动态特性的同时实现降维。该方法引入权重矩阵以提升效率，并采用稀疏性诱导正则化，仿真和真实世界应用（英国气温与日本死亡率数据）均表明其性能优于现有方法。

ABSTRACT

Many economic and scientific problems involve the analysis of high-dimensional functional time series, where the number of functional variables $p$ diverges as the number of serially dependent observations $n$ increases. In this paper, we present a novel functional factor model for high-dimensional functional time series that maintains and makes use of the functional and dynamic structure to achieve great dimension reduction and find the latent factor structure. To estimate the number of functional factors and the factor loadings, we propose a fully functional estimation procedure based on an eigenanalysis for a nonnegative definite and symmetric matrix. Our proposal involves a weight matrix to improve the estimation efficiency and tackle the issue of heterogeneity, the rationale of which is illustrated by formulating the estimation from a novel regression perspective. Asymptotic properties of the proposed method are studied when $p$ diverges at some polynomial rate as $n$ increases. To provide a parsimonious model and enhance interpretability for near-zero factor loadings, we impose sparsity assumptions on the factor loading space and then develop a regularized estimation procedure with theoretical guarantees when $p$ grows exponentially fast relative to $n.$ Finally, we demonstrate that our proposed estimators significantly outperform the competing methods through both simulations and applications to a U.K. temperature data set and a Japanese mortality data set.

研究动机与目标

• 解决当曲线数量 $ p $ 随时间点数量 $ n $ 增长时的高维函数时间序列建模挑战。
• 开发一种能够保留数据函数结构与序列依赖结构的同时实现有效降维的因子模型。
• 基于完全函数化的特征分析方法，结合权重矩阵，估计因子数量与因子载荷，以提升效率。
• 在因子载荷空间中引入稀疏性，以增强可解释性，并有效处理当 $ p $ 相对于 $ n $ 呈指数增长时的近零载荷。
• 在高维渐近条件下，为所提出的正则化估计程序提供理论保证。

提出的方法

• 提出函数因子模型：$ \mathbf{Y}_t(\cdot) = \mathbf{A} \mathbf{X}_t(\cdot) + \boldsymbol{\varepsilon}_t(\cdot) $，其中 $ \mathbf{X}_t(\cdot) $ 为潜在函数因子，$ \boldsymbol{\varepsilon}_t(\cdot) $ 为白噪声。
• 在自协方差算子的特征分析中引入权重矩阵，以提升估计效率并应对异质性。
• 从一种新颖的回归视角推导估计程序，从而证明权重矩阵使用的合理性。
• 对由加权自协方差构造的非负定矩阵实施特征分析，以估计因子数量与因子载荷。
• 采用带正则化的稀疏主成分分析，以在因子载荷空间中诱导稀疏性，提升可解释性。
• 在高维渐近条件下建立理论一致性与收敛速率，其中 $ p $ 相对于 $ n $ 以多项式或指数速率发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保留函数结构与时间依赖性的同时，有效提取高维函数时间序列的潜在动态结构？
• RQ2 当 $ n \to \infty $ 时 $ p \to \infty $，如何最优地估计因子数量及其载荷？
• RQ3 权重矩阵如何提升函数因子模型中估计的效率并处理异质性？
• RQ4 当 $ p $ 相对于 $ n $ 呈指数增长时，所提出估计器的理论性能如何？
• RQ5 在真实世界应用中，该方法在估计精度与可解释性方面相较于现有方法有何表现？

主要发现

• 所提方法在仿真中显著优于竞争方法，尤其在 $ p $ 迅速增长的高维设定下表现突出。
• 使用权重矩阵可实现更高效的估计，尤其在函数曲线间存在异质性时优势明显。
• 理论结果表明，该估计器在高维渐近条件下具有相合性与最优收敛速率，其中 $ p $ 以多项式或指数速率发散。
• 正则化估计程序成功在因子载荷空间中诱导稀疏性，通过识别近零载荷提升了可解释性。
• 对英国气温与日本死亡率数据的实证应用表明，该模型能够捕捉有意义的潜在动态并提供准确预测。
• 载荷的空间热图揭示了死亡趋势中可解释的区域模式，验证了该模型的实际应用价值。