[论文解读] Fair Allocation with Binary Valuations for Mixed Divisible and Indivisible Goods

Yasushi Kawase, Koichi Nishimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2023

Game Theory and Voting Systems被引用 1

一句话总结

本文研究具有二元估值的混合可分与不可分物品的公平分配问题，证明即使不可分物品完全相同，最小化对称严格凸公平函数（如纳什福利或平等福利）仍是NP难问题。针对所有可分物品完全相同的情况，提出了一种多项式时间算法，利用邻近性结构在混合设置中连接离散与连续优化。

ABSTRACT

The fair allocation of mixed goods, consisting of both divisible and indivisible goods, has been a prominent topic of study in economics and computer science. We define an allocation as fair if its utility vector minimizes a symmetric strictly convex function. This fairness criterion includes standard ones such as maximum egalitarian social welfare and maximum Nash social welfare. We address the problem of minimizing a given symmetric strictly convex function when agents have binary valuations. If only divisible goods or only indivisible goods exist, the problem is known to be solvable in polynomial time. In this paper, firstly, we demonstrate that the problem is NP-hard even when all indivisible goods are identical. This NP-hardness is established even for maximizing egalitarian social welfare or Nash social welfare. Secondly, we provide a polynomial-time algorithm for the problem when all divisible goods are identical. To accomplish these, we exploit the proximity structure inherent in the problem. This provides theoretically important insights into the hybrid domain of convex optimization that incorporates both discrete and continuous aspects.

研究动机与目标

• 研究代理对物品具有二元估值时的公平分配问题。
• 确定在同时存在可分与不可分物品的情况下，最小化对称严格凸公平函数（如纳什或平等福利）的计算复杂度。
• 建立结构性质——特别是关于混合设置中效用向量的邻近性定理。
• 在所有可分物品完全相同的情况下，设计一种多项式时间算法，尽管一般情况下问题为NP难。

提出的方法

• 通过从三维匹配（3DM）问题归约证明NP难性，即使不可分物品完全相同亦成立。
• 利用具有特定估值的可分物品构造归约，以建模3DM中的超边与代理。
• 利用邻近性定理（定理4.1）界定效用向量相对于连续松弛解的偏离程度。
• 利用整数基多面体与M-凸集的闵可夫斯基和结构分析可行效用向量。
• 通过利用对称性与效用界，设计所有可分物品完全相同时的多项式时间算法。
• 应用dec-min松弛框架，并证明在松弛设置下Φ-公平分配与dec-min分配等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有二元估值的混合可分-不可分物品分配中，即使不可分物品完全相同，最小化对称严格凸公平函数是否为NP难？
• RQ2 是否可为所有可分物品完全相同这一特殊情况设计多项式时间算法？
• RQ3 在混合设置中是否成立邻近性定理，确保Φ的最小化器位于连续松弛解的有界邻域内？
• RQ4 混合情况下可行效用集的结构性质与纯可分或纯不可分设置下的性质有何不同？
• RQ5 在此混合领域中，Φ-公平分配与dec-min松弛分配之间存在何种关系？

主要发现

• 即使所有不可分物品完全相同，最小化对称严格凸函数Φ的问题仍是NP难，包括最大化纳什福利或平等社会福利的情形。
• 当所有可分物品完全相同时，存在一种多项式时间算法，可在二元估值下实现高效公平分配。
• 在混合情况下成立邻近性定理：Φ的最小化器位于连续松弛解的单位超立方体内。
• 混合情况下可行效用向量集既非凸集，也非M-凸集，因此标准离散与连续优化工具不适用。
• 存在一种Φ-公平分配，使得恰好n个代理的效用为1，其余为0.6，当且仅当存在一个3DM实例中的完美匹配，从而确立NP难性。
• 推论6.2确认，即使不可分物品完全相同，最大纳什福利与平等社会福利问题仍是NP难。