[论文解读] Fair and profitable bilateral prices under funding costs and collateralization

Tianyang Nie, Marek Rutkowski|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文在存在融资成本和抵押品安排的背景下，基于倒向随机微分方程（BSDEs）建模交易双方的单边价格，提出了一套公平且盈利的场外衍生品双边定价框架。关键贡献在于推导了公平双边价格的边界，并在具有多重融资利率和保证金账户的非线性市场模型下，证明了单边价格关于初始资产的单调性。

ABSTRACT

Bielecki and Rutkowski (2014) introduced and studied a generic nonlinear market model, which includes several risky assets, multiple funding accounts and margin accounts. In this paper, we examine the pricing and hedging of contract both from the perspective of the hedger and the counterparty with arbitrary initial endowments. We derive inequalities for unilateral prices and we give the range for either fair bilateral prices or bilaterally profitable prices. We also study the monotonicity of a unilateral price with respect to the initial endowment. Our study hinges on results for BSDE driven by continuous martingales obtained in Nie and Rutkowski (2014), but we also derive the pricing PDEs for path-independent contingent claims of European style in a Markovian framework.

研究动机与目标

• 分析在存在融资成本和抵押品安排的非线性市场模型中，场外衍生品的双边定价问题，其中交易方和对手方具有非对称的融资利率和初始资产。
• 通过引入非零初始资产，扩展现有的无套利定价理论，这些初始资产在非线性设定下会影响单边价格。
• 推导公平的双边价格区间及实现双边盈利交易的条件，确保双方互惠且无套利。
• 建立单边价格关于各方初始资产的单调性，挑战经典模型中线性假设的合理性。
• 在马尔可夫、路径无关的欧式期权框架下，提供定价与对冲策略的PDE表征。

提出的方法

• 形式化一个包含部分净额结算、多个融资账户（贷款与借款利率）以及外生保证金账户以实现抵押品安排的市场模型。
• 使用由连续鞅驱动的倒向随机微分方程（BSDEs）对双方的定价与对冲问题进行建模。
• 通过精心选择的鞅测度进行无套利论证，证明在一般条件下BSDE解的存在性与唯一性。
• 通过非线性Feynman-Kac公式，推导马尔可夫设定下路径无关欧式衍生品的拟线性PDE。
• 利用粘性解理论处理非光滑系数，确保即使经典解不存在，PDE仍能表征价格。
• 基于BSDE解和PDE驱动的对冲头寸，构建交易方与对手方的显式复制策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在融资成本的非线性市场中，非零初始资产如何影响交易方和对手方的单边公平价格？
• RQ2 在抵押品安排和非线性交易条件下，何种双边价格区间既公平又对双方有利？
• RQ3 在何种条件下，单边价格关于某一方初始资产呈现单调性？
• RQ4 当引入融资成本和抵押品安排时，欧式衍生品的定价PDE与经典PDE有何不同？在何种条件下会退化为布莱克-斯科尔斯PDE？
• RQ5 当PDE不光滑时，BSDE方法能否提供解的随机表征？与经典PDE方法相比有何异同？

主要发现

• 交易方的单边价格依赖于其初始资产$x_1$，对手方的价格则依赖于$x_2$，这否定了经典模型中初始资产为零的假设。
• 在非抵押或部分抵押的设定下，公平的双边价格存在，且位于由对手方单边价格（下限）和交易方单边价格（上限）界定的区间内。
• 双边盈利价格存在的充要条件是交易方的单边价格高于对手方的单边价格，且该条件等价于存在一项对双方均有利且无套利的交易。
• 在马尔可夫框架下，交易方与对手方的除息价格由两个独立的拟线性PDE（5.34和5.39）表征，其形式依赖于各自的初始资产。
• 当融资利率相等（$r^l = r^b = r$）时，PDE退化为经典的布莱克-斯科尔斯PDE（5.42），验证了与线性情形的一致性。
• 即使不假设经典光滑性，PDE的粘性解仍与相应BSDE的唯一解相对应，确保了定价框架的稳健性。