[论文解读] Fair Correlation Clustering in Forests

Katrin Casel, Tobias Friedrich+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Explainable Artificial Intelligence (XAI)被引用 1

一句话总结

本文提出了一种在森林图上针对公平相关聚类问题的多项式时间精确算法，通过动态规划技术利用森林的结构特性和公平聚类大小约束，实现了PTAS（多项式时间近似方案）。关键结果表明，森林上的公平相关聚类问题属于PTAS，且随着最小聚类大小的增加，近似保证也相应改善。

ABSTRACT

The study of algorithmic fairness received growing attention recently. This stems from the awareness that bias in the input data for machine learning systems may result in discriminatory outputs. For clustering tasks, one of the most central notions of fairness is the formalization by Chierichetti, Kumar, Lattanzi, and Vassilvitskii [NeurIPS 2017]. A clustering is said to be fair, if each cluster has the same distribution of manifestations of a sensitive attribute as the whole input set. This is motivated by various applications where the objects to be clustered have sensitive attributes that should not be over- or underrepresented. We discuss the applicability of this fairness notion to Correlation Clustering. The existing literature on the resulting Fair Correlation Clustering problem either presents approximation algorithms with poor approximation guarantees or severely limits the possible distributions of the sensitive attribute (often only two manifestations with a 1:1 ratio are considered). Our goal is to understand if there is hope for better results in between these two extremes. To this end, we consider restricted graph classes which allow us to characterize the distributions of sensitive attributes for which this form of fairness is tractable from a complexity point of view. While existing work on Fair Correlation Clustering gives approximation algorithms, we focus on exact solutions and investigate whether there are efficiently solvable instances. The unfair version of Correlation Clustering is trivial on forests, but adding fairness creates a surprisingly rich picture of complexities. We give an overview of the distributions and types of forests where Fair Correlation Clustering turns from tractable to intractable. The most surprising insight to us is the fact that the cause of the hardness of Fair Correlation Clustering is not the strictness of the fairness condition.

研究动机与目标

• 研究在受限图类上，基于差异影响公平模型的公平相关聚类问题的可解性。
• 确定在何种敏感属性分布下，森林图上的公平聚类问题变得计算可解。
• 探索在森林图上，公平相关聚类问题是否存在精确解，与一般图上的不可解结果形成对比。
• 证明计算困难的根源并非公平约束本身，而是敏感属性的分布。
• 通过结合小聚类规模下的动态规划与大聚类规模下的近似方法，为森林图上的公平相关聚类问题构建PTAS。

提出的方法

• 当最小公平聚类大小 d ≤ 4 时，使用动态规划计算森林图上最小代价的公平聚类。
• 采用贪心聚类策略，按颜色对顶点排序并形成大小为 d 的聚类，以实现常数因子近似。
• 通过比较贪心解与最优公平聚类的代价，结合边切割与聚类大小约束，推导近似界。
• 利用森林的树状结构来界定内部与外部边的代价，从而实现紧密的代价分析。
• 将小 d 值下的精确解与大 d 值下的渐近近似相结合，构建PTAS。
• 证明近似因子随 d 增大而收敛至 1，且对任意固定的 ε > 0，运行时间在 n 上仍为多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种敏感属性分布下，森林图上的公平相关聚类问题具有可解性？
• RQ2 计算困难的主要根源是公平约束本身，还是敏感属性的分布？
• RQ3 尽管该问题在一般图上属于APX难问题，是否仍可在森林图上实现PTAS？
• RQ4 最小公平聚类大小 d 如何影响近似质量与计算复杂度？
• RQ5 能否将精确解与近似技术结合，为森林图上的公平相关聚类问题构造PTAS？

主要发现

• 当 d ≤ 4 时存在精确解，当 d ≥ 5 时存在 5-近似解，因此森林图上的公平相关聚类问题属于APX。
• 当 d ≥ 5 时，贪心聚类算法可实现常数因子近似，且该因子随 d 增大而趋近于 1。
• 本文为森林图上的公平相关聚类问题建立了PTAS，对任意 ε > 0，运行时间为 O(n · poly(1/ε))。
• 当 d → ∞ 时，近似因子收敛至 1；当 d = 2 时，算法在树图上可实现 3-近似。
• 困难的根源并非公平条件，而是敏感属性的分布，这一点通过在放宽公平性条件下的结果鲁棒性得到验证。
• 由于当 d < 4/ε + 5 时颜色数量为常数，因此PTAS的运行时间在 n 上为多项式，并且在 1/ε 上也有多项式界。