[论文解读] Fair Division with Bounded Sharing: Binary and Non-Degenerate Valuations

Samuel Bismuth, Ivan Bliznets+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2019

Game Theory and Voting Systems被引用 5

一句话总结

本文研究在具有可加效用的代理之间对可分物品进行公平分配的问题，重点在于在比例性、无 envy 性和公平性等公平约束下最小化共享物品的数量。通过线性规划建立了共享数量的上界，并证明即使在仅有两名代理的情况下，最小化共享也属于 NP-难问题，凸显了在不满足分数帕累托最优性条件下的精确公平分配所面临的计算挑战。

ABSTRACT

A set of objects is to be divided fairly among agents with different tastes, modeled by additive utility-functions. If we consider the objects as indivisible, many instances of the decision problem: ``Is there a fair division of the objects among the agents'' are negative. In addition, this question is hard to solve even for most of the special cases. The latter reasons give us a good motivation to relax the problem for which the running time complexity is better, and the number of positive instances (admitting a fair division) will significantly grow. Whereas many works relax the fairness criteria, this paper introduces another relaxation: an agent is allowed to share a \emph{bounded} number of objects between two or more agents in order to attain fairness. The paper studies various notions of fairness, such as proportionality, envy-freeness, equitability, and consensus. We analyze the run-time complexity of finding a fair allocation with a given number of sharings under several restrictions on the agents' valuations, such as: binary, generalized-binary, and non-degenerate.

研究动机与目标

• 在要求精确公平但不允许货币转移的情况下，最小化公平分配中共享物品的数量。
• 分析在尽可能减少共享数量的前提下寻找公平分配的计算复杂性，特别是当不强制要求分数帕累托最优性时。
• 探讨在可分物品的公平分配中，公平性、最小共享与计算效率之间的权衡。
• 通过放宽分数帕累托最优性要求，探索可信机制设计的可行性。

提出的方法

• 使用线性规划技术，推导出实现各种公平标准（如比例性和无 envy 性）所需共享数量的上界。
• 应用共识划分的概念，即所有代理对每个分配包赋予相等的价值，以支持可信机制设计。
• 将最小化共享问题转化为求解具有有界非零变量数的线性规划问题，即 Min-RVLS 问题。
• 通过从划分问题（Partition problem）的约化，证明了最小化共享在计算上是 NP-难的，表明即使在仅有两名代理的情况下，该问题也具有计算不可解性。
• 采用一种新颖的从 DistinctBalancedPartition 问题的约化，证明在非退化估值下，该最小化问题的 NP-难性。
• 与在分数帕累托最优性条件下的先前工作进行比较，表明若放弃该约束，复杂性将显著增加。

实验结果

研究问题

• RQ1 在比例性、无 envy 性或公平性约束下，实现公平分配所需的最少共享物品数量是多少？
• RQ2 当要求公平性但不强制分数帕累托最优性时，能否高效地最小化共享数量？
• RQ3 是否存在一个多项式时间算法，可为具有最少共享数量的公平分配找到解，即使在非退化估值下也成立？
• RQ4 当缺乏分数帕累托最优性约束时，公平分配的可能数量及其寻找最小共享解的复杂性将如何变化？
• RQ5 通过放宽分数帕累托最优性条件，能否设计出可信的公平分配机制？

主要发现

• 对于比例性或无 envy 性分配，所需共享数量最多为 $ n-1 $，且该上界在一般情况下是紧的。
• 对于共识划分，共享数量最多为 $ n(n-1) $，且存在一种弱多项式算法可计算此类分配。
• 在公平约束下最小化共享数量是 NP-难问题，即使在仅有两名代理和非退化估值的情况下也是如此。
• 即使将问题限制在退化估值下，该问题依然保持 NP-难，表明其困难性源于问题本身的结构。
• 在不施加分数帕累托最优性约束时，公平分配的数量可能为超多项式级别，且不存在此类分配数量的多项式上界。
• NP-难性结果通过从划分问题的约化建立，表明即使对线性系统中非零变量数的最小值进行适度的加法近似，也无法在多项式时间内实现。