[论文解读] Faithful actions of automorphisms on the space of orderings of a group

Thomas Koberda|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文证明了有限生成、剩余幂零且无扭的群的自同构群在其左不变序空间上作用忠实。通过拓扑与代数技术，包括正锥体结构及到同胚群的同态，作者证明该作用是单射，进一步推广至具有格罗莫夫边界之映射类群与双曲群。

ABSTRACT

In this article we study the space of left- and bi-invariant orderings on a torsion-free nilpotent group $G$. We will show that generally the set of such orderings is equipped with a faithful action of the automorphism group of $G$. We prove a result which allows us to establish the same conclusion when $G$ is assumed to be merely residually torsion-free nilpotent. In particular, we obtain faithful actions of mapping class groups of surfaces. We will draw connections between the structure of orderings on residually torsion-free nilpotent, hyperbolic groups and their Gromov boundaries, and we show that in those cases a faithful $\Aut(G)$-action on the boundary is equivalent to a faithful $\Aut(G)$ action on the space of left--invariant orderings.

研究动机与目标

• 建立有限生成、剩余无扭幂零群的自同构群在其左不变序空间上作用忠实。
• 通过将自同构群在边界上的作用与在序空间上的作用关联，将该结果推广至具有格罗莫夫边界的双曲群。
• 探讨序结构与自同构群剩余有限性性质之间的关系。
• 研究外自同构群在双不变序空间上作用忠实的条件，特别是在右角Artin群中的情形。
• 提供反例表明忠实作用在一般情况下不成立，例如克莱因瓶群。

提出的方法

• 通过满足以下公理的正锥体定义左不变序空间：与逆元不相交、对乘法封闭、与逆元的并集覆盖所有非单位元元素，将其视为康托空间的闭子集。
• 在 {0,1}^G 上赋予乘积拓扑，使序空间成为紧致豪斯多夫空间，当 G 可数时，其同胚于康托集。
• 通过自同构拉回序结构，构造 Aut(G) 在 LO(G) 上的自然作用：g ≤_φ h 当且仅当 φ(g) ≤ φ(h)，从而诱导群同态 ψ_a: Aut(G) → Homeo(LO(G))。
• 利用剩余无扭幂零结构，证明该作用忠实，即非平凡自同构诱导正锥体的非平凡置换。
• 利用同调表示，特别是 Aut(G) 在 H₁(G, ℚ) 上的作用，证明在外自同构群在交换化上作用忠实的情况下，该作用亦忠实。
• 在剩余无扭幂零假设下，证明双曲群的 Gromov 边界上 Aut(G) 作用忠实，当且仅当 LO(G) 上作用忠实。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限生成群 G，Aut(G) 在左不变序空间 LO(G) 上作用忠实的条件是什么？
• RQ2 剩余无扭幂零群的序结构与其 Gromov 边界拓扑之间有何关系？
• RQ3 Out(G) 在 O(G) 上的作用是否可能忠实，其发生条件为何？
• RQ4 交换化在决定外自同构群在序空间上作用忠实性方面起何作用？
• RQ5 是否存在自同构群在 LO(G) 上不忠实作用的群？其结构特征如何导致该失效？

主要发现

• 对任意有限生成、剩余无扭幂零群 G，映射 ψ_a: Aut(G) → Homeo(LO(G)) 是单射，证明了 Aut(G) 在 LO(G) 上作用忠实。
• 该结果可推广至带标记点的曲面映射类群与自由群自同构群，二者均为剩余无扭幂零群。
• 对剩余无扭幂零的双曲群，Aut(G) 在 Gromov 边界上作用忠实，当且仅当其在 LO(G) 上作用忠实。
• 在典型的右角Artin群 A_Γ 中，外自同构群在交换化上作用忠实，因此在 O(G) 上作用忠实，这是由于同态 Out(A_Γ) → Aut(H₁(A_Γ, ℚ)) 的忠实性。
• 克莱因瓶群 K 的基本群仅有四个左不变序，而 Out(K) ≅ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ，因此自同构群无法在 LO(K) 上忠实作用，这表明剩余无扭幂零条件的必要性。
• LO(G) 在乘积拓扑下的康托空间 {0,1}^G 中为闭子集，定义正锥体的条件在此拓扑下闭，确保 LO(G) 为紧致豪斯多夫空间。