[论文解读] Faithful Semantical Embedding of a Dyadic Deontic Logic in HOL

Christoph Benzmüller, Ali Farjami+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Logic, programming, and type systems被引用 1

一句话总结

本论文提出了一种对卡梅罗与琼斯的二元道义逻辑（DDL）到经典高阶逻辑（HOL）的忠实、可靠且完备的语义嵌入，使借助现成的HOL定理自动证明器实现自动化推理成为可能。该嵌入采用浅层、类型论的翻译方式，将DDL的邻域语义映射至HOL，辅以形式化正确性证明，确立了DDL作为HOL的一个自然片段，并实现了首个在Isabelle/HOL中可用的DDL定理证明器。

ABSTRACT

A shallow semantical embedding of a dyadic deontic logic by Carmo and Jones in classical higher-order logic is presented. This embedding is proven sound and complete, that is, faithful. The work presented here provides the theoretical foundation for the implementation and automation of dyadic deontic logic within off-the-shelf higher-order theorem provers and proof assistants.

研究动机与目标

• 为解决二元道义逻辑（特别是卡梅罗与琼斯的反事实义务条件句逻辑）缺乏机械化与自动化推理支持的问题。
• 为经典高阶逻辑（HOL）提供一种形式化、忠实的DDL嵌入，作为通用元逻辑。
• 使现有HOL定理自动证明器和证明助手能够被重用于道义逻辑中的自动化推理。
• 为基于DDL实现和验证规范性推理系统奠定理论与实践基础。
• 证明DDL可在HOL框架内自然形式化并进行推理，确保正确性与自动化。

提出的方法

• 通过将DDL公式映射为HOL中的简单类型λ-项，实现浅层语义嵌入，以保持其语义结构。
• 将DDL的邻域语义——特别是二元义务算子 ⃝(ψ/ϕ)——翻译为HOL中关于可能世界集合的函数。
• 将DDL的关键语义约束（如非空性、交集下的封闭性，以及义务函数ob的一致性条件）编码为HOL中的公理。
• 通过一种将HOL解释映射至DDL模型的构造，将DDL的模型论语义与HOL的Henkin模型正式关联。
• 通过证明：DDL公式ϕ为有效当且仅当其HOL翻译vld ⌊ϕ⌋在嵌入公理下于HOL中有效，从而证明了可靠性和完备性。
• 该框架在Isabelle/HOL中实现，展示了首个可用的DDL定理证明器。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有复杂规范结构（如反事实义务条件句）的二元道义逻辑忠实嵌入经典高阶逻辑？
• RQ2 是否可能确保该嵌入在原始DDL语义下的可靠性和完备性？
• RQ3 能否通过此嵌入有效重用现有高阶定理自动证明器，以实现DDL中的自动化推理？
• RQ4 如何在HOL中形式化表达DDL的语义约束，特别是涉及世界集合上义务函数的部分？
• RQ5 该嵌入是否保留了DDL的逻辑行为，包括其对奇尔肖尔姆悖论等的免疫性？

主要发现

• DDL嵌入至HOL在语义上既可靠又完备，即DDL公式ϕ为有效当且仅当其HOL翻译vld ⌊ϕ⌋在嵌入公理下于HOL中有效。
• 该嵌入忠实保留了二元义务的语义，包括单目算子 ⃝a(ϕ) 和 ⃝p(ϕ)，通过在实际世界集和潜在世界集上使用HOL函数进行编码。
• 该框架使现成的高阶定理自动证明器可用于DDL的自动化推理，如在Isabelle/HOL中的实现所示。
• 完备性证明依赖于：从任何满足嵌入公理AV、PV1、PV2以及OB1–OB5的HOL Henkin模型，构造出对应的DDL模型。
• 该嵌入为浅层且类型论导向，利用λ-抽象和高阶函数来表示集合与谓词，无需依赖概括公理。
• 本工作确立了DDL作为经典高阶逻辑的自然且形式化坚实的基础片段，使道义推理系统的系统化形式分析与验证成为可能。