[论文解读] Faltings heights of big CM cycles and derivatives of L-functions

Jan Hendrik Bruinier, Stephen S. Kudla+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文利用对称弱Maass形式的正则化theta提升，为与签名(2d,2)的二次空间相关的正交型Shimura簇上的大CM循环建立了Faltings高度的公式。该研究将非一致Eisenstein级数的中心导数与Rankin-Selberg L函数联系至自守Green函数的CM值，将Gross-Zagier公式推广至大CM循环，并通过算术交点理论验证了CM阿贝尔簇的Colmez猜想的特殊情况。

ABSTRACT

We give a formula for the values of automorphic Green functions on the special rational 0-cycles (big CM points) attached to certain maximal tori in the Shimura varieties associated to rational quadratic spaces of signature (2d,2). Our approach depends on the fact that the Green functions in question are constructed as regularized theta lifts of harmonic weak Mass forms, and it involves the Siegel-Weil formula and the central derivatives of incoherent Eisenstein series for totally real fields. In the case of a weakly holomorphic form, the formula is an explicit combination of quantities obtained from the Fourier coefficients of the central derivative of the incoherent Eisenstein series. In the case of a general harmonic weak Maass form, there is an additional term given by the central derivative of a Rankin-Selberg type convolution.

研究动机与目标

• 将Gross-Zagier因式分解公式推广至与正交型Shimura簇中最大环面相关的'大'CM循环。
• 通过正则化theta提升，建立大CM循环的Faltings高度与L函数中心导数之间的直接联系。
• 利用对称弱Maass形式，将小CM循环（复乘法二次域）的结果推广至大CM循环（度数为d+1的完全实数域）。
• 通过算术交点理论，验证Conjecture 5.5和CM阿贝尔簇的Colmez猜想的特殊情况。

提出的方法

• 利用对称弱Maass形式的正则化theta提升，在Shimura簇上构造自守Green函数。
• 应用Siegel-Weil公式及完全实数域的非一致Eisenstein级数的中心导数，将Green函数值与L函数导数关联。
• 对于弱全纯形式，CM值表示为非一致Eisenstein级数中心导数的傅里叶系数的线性组合。
• 对于一般对称弱Maass形式，额外出现一个来自Rankin-Selberg型卷积的中心导数项。
• 采用Petersson度量归一化，以Green函数值定义CM循环的Faltings高度。
• 将算术交点理论应用于Toroidal紧化与Faltings高度结合，推导出CM循环交点的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在签名(2d,2)的Shimura簇上，用L函数导数表达大CM循环的Faltings高度？
• RQ2 用于小CM循环的正则化theta提升方法能否推广至与最大环面相关的大CM循环？
• RQ3 非一致Eisenstein级数的中心导数与自守Green函数CM值之间的精确算术关系为何？
• RQ4 大CM循环的公式是否在特殊情况下恢复或推广Gross-Zagier与Colmez猜想？
• RQ5 非一致Eisenstein级数中心导数的傅里叶系数如何与CM循环的Faltings高度相关？

主要发现

• 大CM循环的Faltings高度由非一致Eisenstein级数的中心导数与Rankin-Selberg卷积项共同构成的公式给出。
• 对于弱全纯形式，CM值为非一致Eisenstein级数中心导数的傅里叶系数的线性组合，其系数为L函数中心导数的缩放因子。
• 当CM域为四次域且判别式D ≡ 1 mod 4且$ ilde{D}$为无平方因子时，常数$c'(E) = 1$，使公式简化为与已知结果一致的形式。
• 该公式在乘法因子意义下恢复[BY1, Theorem 1.4]，证实与Hilbert模曲面研究结果的一致性。
• 在具有实乘法的阿贝尔簇模空间的紧化上，算术交点配对给出一个精确表达式，涉及$c^+(0)$与标准L函数的导数。
• 该结果验证了Conjecture 5.5的特殊情况，并通过[HY]的改进与定理6.8的支持，为CM阿贝尔簇的Colmez猜想的完整解决提供了依据。