[论文解读] Fast Approximate Counting of Cycles

Censor-Hillel, Keren, Even, Tomer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的输出敏感算法，用于在图中列出 k-团，其在精确 k-团假设下，对 k ≥ 3 实现了首个条件最优的运行时间。通过使用 ℓ < k 时的 ℓ-团数量（∆ℓ）作为参数来参数化运行时间，该方法在 ω = 2 时实现了 Õ(min{m^{1/(k−2)} t^{1−2/(k(k−2))}, n^{2/(k−1)} t^{1−2/(k(k−1))}}) 的时间复杂度，当 k ≥ 3 时，该结果推广了三角形列出的已有工作，并改进了 19 年前对 4-团和 5-团检测的运行时间界限。

ABSTRACT

We consider the problem of approximate counting of triangles and longer fixed length cycles in directed graphs. For triangles, Tětek [ICALP'22] gave an algorithm that returns a (1±ε)-approximation in Õ(n^ω/t^{ω-2}) time, where t is the unknown number of triangles in the given n node graph and ω < 2.372 is the matrix multiplication exponent. We obtain an improved algorithm whose running time is, within polylogarithmic factors the same as that for multiplying an n× n/t matrix by an n/t × n matrix. We then extend our framework to obtain the first nontrivial (1± ε)-approximation algorithms for the number of h-cycles in a graph, for any constant h ≥ 3. Our running time is Õ(MM(n,n/t^{1/(h-2)},n)), the time to multiply n × n/(t^{1/(h-2)}) by n/(t^{1/(h-2)) × n matrices. Finally, we show that under popular fine-grained hypotheses, this running time is optimal.

研究动机与目标

• 设计一种输出敏感的 k-团列表算法，使其在输出中 k-团数量增加时仍能高效扩展。
• 通过引入更小团的数量（∆ℓ）作为参数，将现有的团列表框架从仅依赖 n 和 m 的形式推广至更精细的参数化。
• 在精确 k-团假设下，为所有常数 k ≥ 3 实现 k-团列表的条件最优运行时间。
• 通过利用现代矩阵乘法技术，改进 19 年前对 4-团和 5-团检测的运行时间界限。

提出的方法

• 提出一种通用的 k-团列表框架，使用 1 ≤ ℓ < k 时的 ℓ-团数量（∆ℓ）作为参数，从而实现更精细的运行时间分析。
• 采用递归分解策略，根据顶点在密集子图中的度数对顶点进行划分，重点关注轻量边和密集边以及团。
• 在子程序中使用快速矩阵乘法（MM）来检测 (k, ℓ)-团，尤其在 (4,2)-团列表和 (5,1)-团列表子程序中。
• 应用霍尔德不等式和组合界，控制递归各层的度数和团数量之和。
• 为 6-团列表设计了两种替代算法（算法 I 和 II），分别针对 t（输出团的数量）的不同范围进行优化。
• 将问题约化为更小的团列表子问题（例如，使用 (4,2)-团列表而非 (2,1)-团列表），以利用矩阵乘法的效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种输出敏感的 k-团列表算法，使其对所有 k ≥ 3 实现条件最优的运行时间，从而将已知的三角形最优结果推广？
• RQ2 我们如何将 k-团列表的运行时间参数化，不仅依赖于 n 和 m，还依赖于 ℓ < k 时更小团的数量 ∆ℓ？
• RQ3 是否可能通过利用现代矩阵乘法技术，改进 19 年前对 4-团和 5-团检测的运行时间界限？
• RQ4 在标准细粒度复杂性假设（如精确 k-团假设）下，k-团列表的最紧运行时间是多少？
• RQ5 基于团密度和度数阈值的递归分解是否能生成在不同输出大小 t 下均最优的自适应算法？

主要发现

• 所提出的算法在 ω = 2 且 t 足够大时，实现了 Õ(min{m^{1/(k−2)} t^{1−2/(k(k−2))}, n^{2/(k−1)} t^{1−2/(k(k−1))}}) 的运行时间，该结果在精确 k-团假设下是条件最优的。
• 对于 4-团和 5-团检测，该框架在当前矩阵乘法界限下分别实现了 O(m^{1.66}) 和 O(m^{2.06}) 的时间复杂度，优于 Eisenbrand 和 Grandoni（2004）提出的 O(m^{2}) 和 O(m^{2.2}) 的旧界限。
• 该算法的运行时间可表示为 Õ(∆^{2ℓ(k−ℓ)/ℓ}_ℓ · ∆^{1−2/(k(k−ℓ))}_k)，对所有 ℓ ∈ [1, k−1] 均在精确 k-团假设下达到最优。
• 提出了两种不同的 (6,1)-团列表算法：一种实现 Õ(n^4 + n^{5/2}t^{1/2} + n^{2/5}t^{14/15})，另一种实现 Õ(n^4 + n^{15/7}t^{4/7} + n^{37/21}t^{2/3} + n^{29/25}t^{4/5} + n^{9/10}t^{17/20})，两者在 t 的不同区间内均达到最优。
• 该框架推广了 Bj"orklund 等人（2014）关于三角形列表的工作，将他们的 Õ(n^2 + nt^{2/3}) 结果扩展至 k ≥ 3 的情形。
• 在递归步骤中使用 (4,2)-团列表而非 (2,1)-团列表，通过利用矩阵乘法提升了性能，证明了更高层级团分解的优势。