[论文解读] Fast Computation of Empirically Tight Bounds for the Diameter of Massive Graphs

Clémence Magnien, Matthieu Latapy+1 more|ArXiv.org|Apr 17, 2009

Complex Network Analysis Techniques参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出了一种快速且实用的方法，使用基于BFS的简单算法，为大规模图计算经验上紧致的直径上下界。尽管在界紧致性方面缺乏理论保证，但实验表明这些界通常近乎精确——有时完全相等——从而使得传统方法无法处理的超大规模图也能实现精确的直径估计。

ABSTRACT

The diameter of a graph is among its most basic parameters. Since a few years, it moreover became a key issue to compute it for massive graphs in the context of complex network analysis. However, known algorithms, including the ones producing approximate values, have too high a time and/or space complexity to be used in such cases. We propose here a new approach relying on very simple and fast algorithms that compute (upper and lower) bounds for the diameter. We show empirically that, on various real-world cases representative of complex networks studied in the literature, the obtained bounds are very tight (and even equal in some cases). This leads to rigorous and very accurate estimations of the actual diameter in cases which were previously untractable in practice.

研究动机与目标

• 解决大规模现实世界图的直径计算或估计缺乏高效、准确方法的问题。
• 克服通过BFS或矩阵乘法进行精确直径计算所导致的时间和空间复杂度过高问题。
• 提供计算轻量但经验上非常紧致的严格上下界。
• 在以往现有算法无法处理的情况下，实现精确直径的确定或近乎精确的估计。

提出的方法

• 利用单次BFS计算的顶点偏心率来获得平凡的下界和上界：ecc(v) ≤ D ≤ 2·ecc(v)。
• 应用双扫法：从顶点u执行BFS，再从与u距离最大的顶点执行第二次BFS，从而获得优于平凡方法的更好下界。
• 通过从选定顶点构建BFS树并测量其直径来计算树上界，这些上界始终 ≥ D。
• 使用两种变体来计算树上界：随机顶点选择和度数最高的顶点选择，以提升界的质量。
• 多次重复双扫法和树上界方法，收集界值的分布，以评估经验性能。
• 结合多种启发式方法的结果，在界值收敛时，以高置信度估计实际直径。

实验结果

研究问题

• RQ1 简单的、快速的基于BFS的启发式方法能否为大规模现实世界图的直径产生经验上紧致的界？
• RQ2 在实践中，双扫法和基于树的上界方法相较于平凡界表现如何？
• RQ3 在真实世界复杂网络中，上下界在多大程度上趋于收敛？
• RQ4 即使缺乏理论保证，这些方法在实践中能否得出精确的直径？

主要发现

• 在所有测试图中，双扫法下界显著优于平凡下界，获得更好估计的概率更高。
• 随机树上界和最高度数树上界均优于平凡上界，其中后者通常提供更紧致的结果。
• 对于ip图，双扫法下界与树上界在9处收敛，表明精确直径已被找到。
• 在p2p图的67%情况下，双扫法下界超过7，显示出强大的经验性能。
• 在大多数图中，最高度数树上界优于随机树上界，但在web图中，后者在最佳值出现频率上表现更优。
• 在多个案例中，上下界相等，从而在无需穷举计算的情况下得出精确直径。