[论文解读] Fast Computational Algorithms for the Discrete Wavelet Transform and Applications of Localized Orthonormal Bases in Signal Classification

Eirik Fossgård|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 1999

Image and Signal Denoising Methods参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于矩阵的新型算法，利用 SO₂(R) 和 SLₘ(R) 变换加速离散小波变换（DWT），在对称奇-奇双正交滤波器下，1D 情况下计算操作减少约 38%，2D 情况下减少高达 70%。该方法可实现更快的信号处理，并通过统计空间-频率分析提升波形分类中的边缘保持能力。

ABSTRACT

We construct an algorithm for implementing the discrete wavelet transform by means of matrices in SO_2(R) for orthonormal compactly supported wavelets and matrices in SL_m(R), m > = 2, for compactly supported biorthogonal wavelets. We show that in 1 dimension the total operation count using this algorithm can be reduced to about 50% of the conventional convolution and downsampling by 2-operation for both orthonormal and biorthogonal filters. In the special case of biorthogonal symmetric odd-odd filters, we show an implementation yielding a total operation count of about 38% of the conventional method. In 2 dimensions we show an implementation of this algorithm yielding a reduction in the total operation count of about 70% when the filters are orthonormal, a reduction of about 62% for general biorthogonal filters, and a reduction of about 70% if the filters are symmetric odd-odd length filters. We further extend these results to 3 dimensions. We also show how the SO_2(R)-method for implementing the discrete wavelet transform may be exploited to compute short FIR filters, and we construct edge mappings where we try to improve upon the degree of preservation of regularity in the conventional methods. We also consider a two-class waveform discrimination problem. A statistical space-frequency analysis is performed on a training data set using the LDB-algorithm of N.Saito and R.Coifman. The success of the algorithm on this particular problem is evaluated on a disjoint test data set.

研究动机与目标

• 降低 1D、2D 和 3D 信号处理中离散小波变换（DWT）的计算成本。
• 开发一种基于 SO₂(R) 和 SLₘ(R) 群的矩阵算法，适用于正交与双正交小波。
• 通过构建优化的边缘映射，提升信号重构过程中的边缘保持能力。
• 利用统计空间-频率分析，评估 DWT 算法在两类波形判别问题中的性能。
• 与传统的卷积-降采样方法相比，显著降低操作计数。

提出的方法

• DWT 通过 SO₂(R) 群中的矩阵实现正交紧支撑小波，通过 SLₘ(R) 群（m ≥ 2）中的矩阵实现双正交小波。
• 该算法用矩阵变换替代标准卷积与降采样操作，减少算术运算量。
• 对于对称奇-奇双正交滤波器，采用专门实现，使操作计数降至传统方法的 38%。
• 通过将矩阵框架应用于多维信号变换，将方法扩展至 2D 和 3D。
• 构建边缘映射以在信号重构过程中增强规则性保持。
• 使用 LDB 算法对训练集进行统计空间-频率分析，以实现波形分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 SO₂(R) 和 SLₘ(R) 中的矩阵表示是否能在 1D 及以上维度显著减少 DWT 的操作计数？
• RQ2 与传统的卷积-降采样方法相比，该算法在正交与双正交小波上的计算效率如何？
• RQ3 与传统方法相比，该方法在信号重构中提升边缘保持能力的程度如何？
• RQ4 该 DWT 算法在真实世界两类波形判别任务中的表现如何？
• RQ5 基于矩阵的方法能否在 2D 和 3D 信号处理中保持一致的计算节省？

主要发现

• 在 1D 情况下，正交与双正交滤波器的总操作计数均减少至传统方法的约 50%。
• 对于对称奇-奇双正交滤波器，操作计数减少至传统方法的约 38%。
• 在 2D 情况下，正交滤波器与对称奇-奇双正交滤波器的操作计数分别减少约 70%。
• 对于 2D 中的一般双正交滤波器，操作计数减少约 62%。
• 该方法在 3D 中也有效扩展，计算节省效果相似。
• 基于 LDB 算法的分类在独立测试数据集上取得成功，验证了该方法在信号判别任务中的实用性。